Задачи на оптимальный выбор

В новое статье Андрей Алексеевич разбирает задачу профильного уровня из темы "Задачи на оптимальный выбор" (задание № 17 в ЕГЭ).

Условие:

В 1-е классы одной школы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение

Эта задача имеет несколько вариантов решения. Удобнее её решить, введя переменную. Пусть в меньший класс распределено х девочек. Так как в меньшем классе всего 22 человека, тогда в больший класс будет распределено \(25-x\) девочек.

Значит, суммарная доля девочек в двух классах будет равна:

\({x\over22}+{{25-x}\over23}={x\over506}+{25\over23}\)

Как видите, после сделанных преобразований, при которых мы находим общий знаменатель, складываем две эти дроби, приводим подобные члены, выделяем «х» с коэффициентом «1/506» как первое слагаемое, а второе слагаемое «550/506» упрощаем на «22», у нас получается выражение, представляющее собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом (1/506).

Так как это линейная функция («х» в первой степени), а коэффициент при «х» (1/506) является положительным числом, значит, эта функция возрастает и достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при x=22.

Таким образом, чтобы сумма, полученная в результате сложения долей была наибольшей, необходимо, чтобы меньший класс полностью состоял из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Автор - Андрей Найденов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Станислав Николаевич Перепада

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Челябинский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

195

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Мария Евгеньевна Эминова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Удмуртский государственный университет

Проведенных занятий:

555

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Татьяна Валентиновна Дмитриева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ивановский государственный университет

Проведенных занятий:

932

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

Специализации