Решаем задание №17. Оптимизация. Профильный ЕГЭ

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Задача:

В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 19 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение

Пусть

\(x\) — количество лет, которые Алексей держал ценную бумагу

\(y\) — количество лет, которые Алексей держал деньги на банковском счету.

Очевидно \(x+y=15 \) или \(y=15-x\)

Доход за \(x\) лет удержания денег в ценной бумаге: \(Сцб=19000+x*3000\).

Доход за \(y\) лет удержания денег на банковском счету: \(Сб=(1900+3000*x)*y*0,1 \)

Таким образом? целевая функция имеет вид Сцб+Сб= \(19000+x*3000+(1900+3000*x)*y*0,1\)

Подставим в выражение полученное ранее значение \(y\), имеем \(19000+x*3000+(1900+3000*x)*(15-x)*0,1=1900+3000x+1900*1,5+3000x*1,5-190x-300x^2=\) \(2850+3000x+1900+4500x-190x-300x^2=-300x^2+7310x+4750\)

Возьмем производную от полученного выражения, приравняем ее нулю и найдем \(x\).

Имеем \(-600x+7310=0\) \(x=12\)

Действительно ли в этой точке максимум, проверим окрестности точки \(x=12\).

Производная в точке 10 положительная, т. е. функция возрастает. В точке \(x=20\) призводная отрицательная, функция убывает.

Точка \(x=12\) - точка максимума.

Ответ: 12.

Предыдущая статья