Решаем задание №17. Оптимизация. Профильный ЕГЭ

 
Задача:
 
В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 19 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
 
Решение
 
Пусть
 
\(x\) — количество лет, которые Алексей держал ценную бумагу
 
\(y\) — количество лет, которые Алексей держал деньги на банковском счету.
 
Очевидно \(x+y=15 \) или \(y=15-x\) 
 
Доход за \(x\) лет удержания денег в ценной бумаге: \(Сцб=19000+x*3000\).
 
Доход за \(y\) лет удержания денег на банковском счету: \(Сб=(1900+3000*x)*y*0,1 \)
 
Таким образом? целевая функция имеет вид Сцб+Сб= \(19000+x*3000+(1900+3000*x)*y*0,1\)
 
Подставим в выражение полученное ранее значение \(y\), имеем  \(19000+x*3000+(1900+3000*x)*(15-x)*0,1=1900+3000x+1900*1,5+3000x*1,5-190x-300x^2=\) \(2850+3000x+1900+4500x-190x-300x^2=-300x^2+7310x+4750\)
 
Возьмем производную от полученного выражения, приравняем ее нулю и найдем \(x\).
 
Имеем \(-600x+7310=0\)   \(x=12\)
 
Действительно ли в этой точке максимум, проверим окрестности точки \(x=12\).
 
Производная в точке 10 положительная, т. е. функция возрастает. В точке \(x=20\) призводная отрицательная, функция убывает.
 
Точка \(x=12\) - точка максимума.
 
Ответ: 12.
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Казанский федеральный университет
Проведенных занятий:
96
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
ГГУ им.Я.Купалы
Проведенных занятий:
410
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Тираспольский государственный университет
Проведенных занятий:
316
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации