ЕГЭ по математике, профильный уровень. Задача с параметром

В этой статье преподаватель математики Андрей Алексеевич рассматривает очень непростое, но и очень интересное задние, которое на ЕГЭ может вам встретиться под номером 18. 
 
Условие:
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
 
Решение
 
Эта система уравнений интересна тем, что кроме наличия параметра «а» здесь есть выражение с модулем. Конечно, это усложняет задачу, но делает её по-настоящему интересной.
 
Начнем решение с использования свойств выражений по модулю. Преобразуем первое уравнение системы:
Как видите, получилось две системы, отличающиеся тем, что в первой системе мы принимаем выражение, находящееся по модулю, больше или равно нулю, а во второй системе это же выражение принимаем меньше нуля. При этом в первом уравнении второй системы нам надо учесть вводимое условие (меньше нуля) постановкой знака «-» перед правой частью.
 
Далее, решаем обе системы. Раскрываем скобки, переносим элементы уравнения из правой части в левую, приводим подобные члены. Вторые неравенства также преобразуем, оставляя в правой части только «у»:
 
 
Проводим анализ получившихся выражений. Первое уравнение задаёт объединение дуг \(ω\)1 и \(ω\)2, являющихся частью окружностей радиуса 5 с центрами в точках О1(8;-4)и O2(0;0), лежащих ниже и выше прямой \(y=2x-1\) соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках A(5;0) и B(3;-4). Заметим, что точка касания \(C( \sqrt5;2 \sqrt5)\) лежит на дуге \(ω\)2 и прямая O2C перпендикулярна прямой O1O2.
 
Теперь рассмотрим второе уравнение исходной системы. Оно задаёт семейство параллельных прямых, назовем их «m», которые параллельны прямой O1O2 или совпадают с ней, что зависит от величины параметра «а».
 
Рассмотрим несколько случаев:
  1. При \(a=5\) , прямая «m» пересекает каждую из дуг \(ω\)1 и \(ω\)2  в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система при этом имеет три решения.
  2. Аналогично, при \(a=-5\) , прямая «m» проходит через точку B и исходная система также имеет три решения.
  3. При \(a=5\sqrt5\) , прямая «m» проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг  \(ω\)1 и \(ω\)2,то есть исходная система имеет два решения.
  4. Аналогично, при  \(a=-5\sqrt5\), прямая «m» касается дуг  \(ω\)1 и \(ω\)2,то есть исходная система имеет два решения.
  5. При \(-5\sqrt5<a<-5\) или  \(5<a<5\sqrt5\), прямая «m» пересекает каждую из дуг  \(ω\)1 и \(ω\)2  в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
  6. При \(-5<a<5\) , прямая «m» пересекает каждую из дуг  \(ω\)1 и \(ω\)2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
  7. При \(a<-5\sqrt5\) или  \(a>5\sqrt5\), прямая «m» не пересекает дуги  \(ω\)1 и \(ω\)2, то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при \(-5\sqrt5<a≤-5\) или \(5≤a<5\sqrt5\) 
 
Для решения этой задачи мы применили как алгебраический, так и графический методы. В данном случае это дало нам наглядную картину и упростило трудоемкость при вычислениях. 
 
Ответ: \(-5\sqrt5<a≤-5\);\(5≤a<5\sqrt5\)
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
40
Образование:
Ивановский государственный университет
Проведенных занятий:
606
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
43
Образование:
Казанский инженерно- строительный институт
Проведенных занятий:
98
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
16
Образование:
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
Проведенных занятий:
265
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации