img

Площадь трапеции

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Немного истории

Для начала вспомним, что такое трапеция.
 
Трапеция – это фигура, у которой две стороны параллельны, а две другие не параллельны.     
    
Трапеция – одна из самых «загадочных» фигур школьной планиметрии. Она обладает некоторыми признаками параллелограмма, но сильно отличается от него разнообразием форм. Различают трапеции прямоугольные, равнобедренные, общего вида. Одно это разнообразие форм уже подозрительно. 
 
На практике форма трапеции встречается более часто, чем прямоугольники, квадраты или параллелограммы. Поэтому нахождение площади для трапеции – более актуальная задача, чем для других фигур.       
 
Покажем вам несколько формул, как найти площадь трапеции. Каждая формула площади трапеции подходит для решения соответствующего круга задач.
 

Основные формулы

  1. Площадь трапеции через её основания и высоту:
Площадь трапеции
  1. Площадь трапеции через ее высоту и среднюю линию:
формула площади трапеции
  1. Площадь трапеции через ее диагонали и угол между ними:
площадь трапеции формула
 
Давайте разберем задачу, иллюстрирующую применение одной из этих формул:
 
Задача
Основания трапеции общего вида равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
 
Решение
 
Изобразим трапецию общего вида и введём обозначения, как показано на рисунке ниже.
 
 
 
По условию задачи, один из углов трапеции равен 150°. Этим углом может быть угол ADC. По свойству трапеции, также как и параллелограмма, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180°. Отсюда несложно вычислить, что второй угол, DAН, прилежащий к этой боковой стороне, будет равен 30°.
 
Отрезком DH на рисунке является высота трапеции. Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника AHD, где DH является противолежащим катетом, AD является гипотенузой:
 
 
Воспользуемся формулой (1) площади трапеции через ее основания и высоту. По этой формуле площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на ее высоту:
 
 
 
Ответ: 42
 
Итак, зная длины двух оснований трапеции и ее высоту, вычислить ее площадь достаточно просто. Сложности могут быть, если нам не известны один из требуемых элементов, например, высота трапеции. Но здесь на помощь приходят знания свойств трапеций и соотношений в прямоугольном треугольнике.
 

Часто задаваемые вопросы

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны непараллельны.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции, опущенная на основание.

Если увеличить одно из оснований трапеции, то ее площадь увеличится, при этом высота трапеции останется неизменной. Если увеличить оба основания на одинаковую величину, то площадь трапеции увеличится в два раза.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Орский государственный педагогический институт им. Т. Г. Шевченко, физико-математический факультет
Проведенных занятий:
879
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Столичный центр переподготовки г. Москвы
Проведенных занятий:
314
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
БГУ
Проведенных занятий:
1824
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)