Площадь трапеции

Теория вопроса
 
Напомним, что трапеция – это фигура, у которой две стороны параллельны, а две другие не параллельны.     
    
Трапеция – одна из самых «загадочных» фигур школьной планиметрии. Она обладает некоторыми признаками параллелограмма, но сильно отличается от него разнообразием форм. Различают трапеции прямоугольные, равнобедренные, общего вида. Одно это разнообразие форм уже подозрительно. 
 
На практике форма трапеции встречается более часто, чем прямоугольники, квадраты или параллелограммы. Поэтому нахождение площади для трапеции – более актуальная задача, чем для других фигур.       
 
Существует несколько формул нахождения площади трапеции. Каждая из них подходит для решения соответствующего круга задач.
 
Вот основные формулы:
  1. Площадь трапеции через её основания и высоту:
  1. Площадь трапеции через ее высоту и среднюю линию:
  1. Площадь трапеции через ее диагонали и угол между ними:
 
Давайте разберем задачу, иллюстрирующую применение одной из этих формул:
 
Задача
Основания трапеции общего вида равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
 
Решение
 
Изобразим трапецию общего вида и введём обозначения, как показано на рисунке ниже.
 
 
 
По условию задачи, один из углов трапеции равен 150°. Этим углом может быть угол ADC. По свойству трапеции, также как и параллелограмма, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180°. Отсюда несложно вычислить, что второй угол, DAН, прилежащий к этой боковой стороне, будет равен 30°.
 
Отрезком DH на рисунке является высота трапеции. Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника AHD, где DH является противолежащим катетом, AD является гипотенузой:
 
 
Воспользуемся формулой (1) площади трапеции через ее основания и высоту. По этой формуле площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на ее высоту:
 
 
 
Ответ: 42
 
Итак, зная длины двух оснований трапеции и ее высоту, вычислить ее площадь достаточно просто. Сложности могут быть, если нам не известны один из требуемых элементов, например, высота трапеции. Но здесь на помощь приходят знания свойств трапеций и соотношений в прямоугольном треугольнике.
 
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина
Проведенных занятий:
1400
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Новосибирский государственный университет
Проведенных занятий:
316
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. Я. БРЮСОВА
Проведенных занятий:
34
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации