Площадь трапеции

Теория вопроса
 
Напомним, что трапеция – это фигура, у которой две стороны параллельны, а две другие не параллельны.     
    
Трапеция – одна из самых «загадочных» фигур школьной планиметрии. Она обладает некоторыми признаками параллелограмма, но сильно отличается от него разнообразием форм. Различают трапеции прямоугольные, равнобедренные, общего вида. Одно это разнообразие форм уже подозрительно. 
 
На практике форма трапеции встречается более часто, чем прямоугольники, квадраты или параллелограммы. Поэтому нахождение площади для трапеции – более актуальная задача, чем для других фигур.       
 
Существует несколько формул нахождения площади трапеции. Каждая из них подходит для решения соответствующего круга задач.
 
Вот основные формулы:
  1. Площадь трапеции через её основания и высоту:
  1. Площадь трапеции через ее высоту и среднюю линию:
  1. Площадь трапеции через ее диагонали и угол между ними:
 
Давайте разберем задачу, иллюстрирующую применение одной из этих формул:
 
Задача
Основания трапеции общего вида равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
 
Решение
 
Изобразим трапецию общего вида и введём обозначения, как показано на рисунке ниже.
 
 
 
По условию задачи, один из углов трапеции равен 150°. Этим углом может быть угол ADC. По свойству трапеции, также как и параллелограмма, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180°. Отсюда несложно вычислить, что второй угол, DAН, прилежащий к этой боковой стороне, будет равен 30°.
 
Отрезком DH на рисунке является высота трапеции. Найдем эту высоту из прямоугольного треугольника AHD, где DH является противолежащим катетом, AD является гипотенузой:
 
 
Воспользуемся формулой (1) площади трапеции через ее основания и высоту. По этой формуле площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на ее высоту:
 
 
 
Ответ: 42
 
Итак, зная длины двух оснований трапеции и ее высоту, вычислить ее площадь достаточно просто. Сложности могут быть, если нам не известны один из требуемых элементов, например, высота трапеции. Но здесь на помощь приходят знания свойств трапеций и соотношений в прямоугольном треугольнике.
 
Автор - Андрей Найденов
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Валентина Валерьевна Король
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
БГУ
Проведенных занятий:
6389
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Алексей Дмитриевич Коряков
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Елена Александровна Дворянинова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Северо-Казахстанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
133
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации
Похожие статьи