img

Площадь параллелограмма

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Немного из истории
 
Необходимость нахождения площади параллелограммов и их частных случаев – прямоугольников, возникла очень давно. С древних времен человеку необходимо было находить площади земельных участков для сельскохозяйственных нужд и градостроительства.
 

Площадь параллелограмма: основные формулы

 
Существует несколько формул нахождения площади параллелограмма. Каждая из них подходит для решения соответствующего круга задач.
 
Рассмотрим основные формулы.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма через одну из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне:
Параллелограмм площадь
 
Площадь параллелограмма через две его стороны и синус угла между ними:
Параллелограмм формулы
Площадь параллелограмма через его диагонали и угол между ними:
как найти площадь параллелограмма
 
Давайте разберем задачу, иллюстрирующую применение одной из этих формул:
 
Задача
Даны параллелограмм АВСD и прямоугольник EFKM, которые имеют одинаковую длину соответствующих сторон (см. рисунок ниже). Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
 
Параллелограмм
 
Решение
 
На первый взгляд, это очень сложная задача, так как мы не знаем ни одного конкретного параметра ни одной из этих геометрических фигур. Давайте попробуем разобраться.
 
По условию задачи, стороны FE = АВ, КМ = СD, ЕМ = АD, FК = ВС.
 
Площадь параллелограмма в данном случае удобно найти через две стороны и синус угла между ними (2-я формула). Площадь прямоугольника в классическом прочтении равна произведению длины на ширину. Но так как прямоугольник – это частный случай параллелограмма, то его площадь также можно представить через две стороны и синус угла между ними. Только в этом случае угол будет равен 90 градусов, а синус 90 градусов равен «1». Поэтому значительно проще при нахождении площади прямоугольников обходится без синусов.
 
Так как по условию задачи соответствующие стороны прямоугольника и параллелограмма равны, мы можем их обозначить одной буквой:
 
FE = АВ = Х
ЕМ = АD = У
 
Острый угол, например, ВАD обозначим одной буквой А.
 
Тогда площадь параллелограмма равна:
 
Sпар = ХУsinA
 
а площадь прямоугольника равна:
 
Sпрям = ХУ
 
Также по условию площадь прямоугольника вдвое больше площади параллелограмма:
 
Sпрям = 2 Sпар
 
Следовательно, мы можем записать следующее уравнение:
 
ХУ = 2 ХУ sinA
 
Сокращаем обе части этого уравнения на «Х У», получаем:
 
1 = 2 sinA
 
Откуда:
 
sinA = 0,5
 
По таблице синусов находим, что если sinA = 0,5, то угол А = 30 градусов
 
Ответ: 30 
 
Как видите, иногда, зная только один сравнительный параметр, связывающий две геометрические фигуры, мы можем вычислить некоторые параметры одной из фигур, опираясь только на знание формул для нахождения площади этих фигур. 
 

Часто задаваемые вопросы

 

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Важными свойствами параллелограмма являются равенство противоположных сторон, противоположных углов и диагоналей, а также равенство площадей параллелограмма и прямоугольника, основание и высоту которого образуют две параллельные стороны параллелограмма.

Ромб, прямоугольник и квадрат являются разновидностями параллелограмма.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
Кубанский государственный университет
Проведенных занятий:
976
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
754
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
Проведенных занятий:
994
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)