Площадь параллелограмма

Теория вопроса
 
Необходимость нахождения площади параллелограммов и их частных случаев – прямоугольников, возникла очень давно. С древних времен человеку необходимо было находить площади земельных участков для сельскохозяйственных нужд и градостроительства.
 
Существует несколько формул нахождения площади параллелограмма. Каждая из них подходит для решения соответствующего круга задач.
 
Вот основные формулы:
  1. Площадь параллелограмма через одну из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне:
 
  1. Площадь параллелограмма через две его стороны и синус угла между ними:
  1. Площадь параллелограмма через его диагонали и угол между ними:
 
Давайте разберем задачу, иллюстрирующую применение одной из этих формул:
 
Задача
Даны параллелограмм АВСD и прямоугольник EFKM, которые имеют одинаковую длину соответствующих сторон (см. рисунок ниже). Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
 
 
Решение
 
На первый взгляд, это очень сложная задача, так как мы не знаем ни одного конкретного параметра ни одной из этих геометрических фигур. Давайте попробуем разобраться.
 
По условию задачи, стороны FE = АВ, КМ = СD, ЕМ = АD, FК = ВС.
 
Площадь параллелограмма в данном случае удобно найти через две стороны и синус угла между ними (2-я формула). Площадь прямоугольника в классическом прочтении равна произведению длины на ширину. Но так как прямоугольник – это частный случай параллелограмма, то его площадь также можно представить через две стороны и синус угла между ними. Только в этом случае угол будет равен 90 градусов, а синус 90 градусов равен «1». Поэтому значительно проще при нахождении площади прямоугольников обходится без синусов.
 
Так как по условию задачи соответствующие стороны прямоугольника и параллелограмма равны, мы можем их обозначить одной буквой:
 
FE = АВ = Х
ЕМ = АD = У
 
Острый угол, например, ВАD обозначим одной буквой А.
Тогда площадь параллелограмма равна:
 
Sпар = ХУsinA
 
а площадь прямоугольника равна:
 
Sпрям = ХУ
 
Также по условию площадь прямоугольника вдвое больше площади параллелограмма:
 
Sпрям = 2 Sпар
 
Следовательно, мы можем записать следующее уравнение:
 
ХУ = 2 ХУ sinA
 
Сокращаем обе части этого уравнения на «Х У», получаем:
 
1 = 2 sinA
 
Откуда:
 
sinA = 0,5
 
По таблице синусов находим, что если sinA = 0,5, то угол А = 30 градусов
 
Ответ: 30 
 
Как видите, иногда, зная только один сравнительный параметр, связывающий две геометрические фигуры, мы можем вычислить некоторые параметры одной из фигур, опираясь только на знание формул для нахождения площади этих фигур. 
 
Автор - Андрей Найденов
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Самаркандский государственный университет
Проведенных занятий:
431
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Учитель первой категории. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Объясняю доступно, ясно, легко. Учитываю личность, характер ученика. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
Кемеровский государственный университет
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Преподаватель для 3-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Профессиональный репетитор по математике, тренер по ментальной арифметике и скорочтению, брейн-тренер, коуч, профориентолог. Все эти специализации, знания, помогают мотивировать ребенка на самостоятельную работу с большим объемом информации, на достижение цели. Развитие памяти, внимания и скорости мышления - дают возможность человеку поверить в себя, увидеть на что способен мозг человека, осознать, что нет слова "НЕ МОГУ", есть слова "плохо хочу". Если вы, как родитель, нацелены на воспитание самостоятельной личности, готовы работать в команде "родитель, ребенок, тренер", готовы получать и замечать результаты своего ребенка, тогда вы на правильном пути и нам есть, что обсудить.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Крымский федеральный университет им. Вернадского
Проведенных занятий:
322
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-5 классов. Сложно ? Я докажу тебе обратное ! Математику люблю, за то , что в ней всё подчиняется определенным правилам, которые одинаковы абсолютно для всех. Математика - имеет свои неизменные законы, действующие во все времена , и во всех странах. С легкостью увлеку тебя и пробужу в тебе интерес, к Самой "ЦАРИЦЕ" наук , ее Величество - Математика

Учебные курсы по математике (8 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Курсы ЕГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Урок "Натуральные числа" (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие