Теорема косинусов

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Утверждения, эквивалентные Теореме косинусов, опубликовал в свое время Евклид в своих "Началах". Поэтому считается, что это классика евклидовой геометрии.

Теорема косинусов может быть полезна для решения различных задач, связанных с треугольниками. Она позволяет нам находить длины сторон треугольника, если известны углы и длины других сторон, или находить меры углов, если известны длины сторон.

Теорема косинусов звучит так:

Для плоского треугольника (см. рисунок ниже), у которого обозначены стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,

справедливо соотношение: a² = b² + c² – 2bc cosα.

Теорема косинусов — более универсальное соотношение, которое обобщает теорему Пифагора. Если теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников, то теорема косинусов справедлива для любых плоских треугольников. И это очень важное преимущество.

Также удобно, что с помощью Теоремы косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная две других и величину угла между ними.

Теорема косинусов имеет два важных следствия:

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника, если известны все три стороны (см. рисунок):

Задачи, в которых используется теорема косинусов, имеют весьма разнообразную тематику. Давайте разберем одну из них.

Задача

Решение:

Нахождение двух сторон в произвольном треугольнике, если знаем только третью сторону – задача трудная. В этом случае мы использовали свойства биссектрисы делить угол пополам и теорему косинусов. Необходимо было увидеть, что биссектриса не только делит угол пополам, но и образует еще два треугольника, которые нам и помогли решить эту задачу.

Автор - Андрей Найденов

Часто задаваемые вопросы: