img

Теорема косинусов

21 июн 2024

Теорема косинусов

 
Утверждения, эквивалентные Теореме косинусов, опубликовал в свое время Евклид в своих "Началах". Поэтому считается, что это классика евклидовой геометрии.
 

Теорема косинусов может быть полезна для решения различных задач, связанных с треугольниками. Она позволяет нам находить длины сторон треугольника, если известны углы и длины других сторон, или находить меры углов, если известны длины сторон.

 
Теорема косинусов звучит так:
 
Для плоского треугольника (см. рисунок ниже), у которого обозначены стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,
справедливо соотношение: a2 = b2 + c2 – 2bc cosα.        
 
Теорема косинусов — более универсальное соотношение, которое обобщает теорему Пифагора. Если теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников, то теорема косинусов справедлива для любых плоских треугольников. И это очень важное преимущество.
 
Также удобно, что с помощью Теоремы косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная две других и величину угла между ними.
 
 
 
Теорема косинусов имеет два важных следствия:
  1. Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника, если известны все три стороны (см. рисунок):
Задачи, в которых используется теорема косинусов, имеют весьма разнообразную тематику. Давайте разберем одну из них.
 
Задача
 
 
Решение:
 
 
Нахождение двух сторон в произвольном треугольнике, если знаем только третью сторону – задача трудная. В этом случае мы использовали свойства биссектрисы делить угол пополам и теорему косинусов. Необходимо было увидеть, что биссектриса не только делит угол пополам, но и образует еще два треугольника, которые нам и помогли решить эту задачу. 
Автор - Андрей Найденов
 
Часто задаваемые вопросы:

Теорема косинусов - это математическая формула, которая связывает длины сторон треугольника с мерами его углов.

Для вычисления длины одной из сторон треугольника с использованием теоремы косинусов, необходимо знать длины двух других сторон и меру включенного угла. Подставив значения в соответствующую формулу, можно вычислить длину третьей стороны.

Теорему косинусов можно использовать для вычисления мер углов треугольника, если известны длины его сторон. Подставив значения в формулы для косинусов углов, можно найти их меры.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи