Примеры решения уравнений: логарифм с переменным основанием

Примеры решения уравнений с логарифмами с переменным основанием.
Пример 1. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\).
Решение:
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\)
Используем свойство логарифма: \(a=\log _b\left(b^a\right)\)
\(\log _3\left(27\right)=\log _2\left(2^{\log _3\left(27\right)}\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(x+1=8\)\(-->x=7\)
Ответ:\(​​​​x=7\).

Пример 2. Найдите \(x:\)  \(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\).
Решение:
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\)
Прибавим к обоим частям \(\ln \left(x+1\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)+\ln \left(x+1\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
\(\ln \left(x+2\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\), так как  \(1=\ln \left(e^1\right)=\ln \left(e\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)=\ln \left(e\right)+\ln \left(x+1\right)\)
\(x+2=e\left(x+1\right)\)
\(\:x+2=e\left(x+1\right)-->x(1-e)=e-2-->\quad x=\frac{e-2}{-e+1}\)
Ответ: \(x=\frac{e-2}{-e+1}\).

Пример 3. Найдите \(x:\) \(4+\log _3\left(7x\right)=10\) .
Решение:
\(4+\log _3\left(7x\right)=10\)
Вычтем от обоих частей равенства  \(4\):
\(4+\log _3\left(7x\right)-4=10-4\)
\(\log _3\left(7x\right)=6\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)-->\)  \(6=\log _3\left(3^6\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(\log _3\left(7x\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(7x=729-->\quad x=\frac{729}{7}\)
Ответ: \(x=\frac{729}{7}\).

Пример 4. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\) .
Решение:
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство  \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\) 
\(3=\log _2\left(2^3\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\right)+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство \(\log _c\left(a\right)+\log _c\left(b\right)=\log _c\left(ab\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\left(1-x\right)\right)\)
\(x^2-6x=8\left(1-x\right)\)
\(x=2,\:x=-4\)
Ответ: \(x=2,\:x=-4\).
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Институт современного образования
Проведенных занятий:
2
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
234
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
19
Образование:
Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет
Проведенных занятий:
119
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации