Примеры решения уравнений: логарифм с переменным основанием

Примеры решения уравнений с логарифмами с переменным основанием.
Пример 1. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\).
Решение:
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\)
Используем свойство логарифма: \(a=\log _b\left(b^a\right)\)
\(\log _3\left(27\right)=\log _2\left(2^{\log _3\left(27\right)}\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(x+1=8\)\(-->x=7\)
Ответ:\(​​​​x=7\).

Пример 2. Найдите \(x:\)  \(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\).
Решение:
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\)
Прибавим к обоим частям \(\ln \left(x+1\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)+\ln \left(x+1\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
\(\ln \left(x+2\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\), так как  \(1=\ln \left(e^1\right)=\ln \left(e\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)=\ln \left(e\right)+\ln \left(x+1\right)\)
\(x+2=e\left(x+1\right)\)
\(\:x+2=e\left(x+1\right)-->x(1-e)=e-2-->\quad x=\frac{e-2}{-e+1}\)
Ответ: \(x=\frac{e-2}{-e+1}\).

Пример 3. Найдите \(x:\) \(4+\log _3\left(7x\right)=10\) .
Решение:
\(4+\log _3\left(7x\right)=10\)
Вычтем от обоих частей равенства  \(4\):
\(4+\log _3\left(7x\right)-4=10-4\)
\(\log _3\left(7x\right)=6\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)-->\)  \(6=\log _3\left(3^6\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(\log _3\left(7x\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(7x=729-->\quad x=\frac{729}{7}\)
Ответ: \(x=\frac{729}{7}\).

Пример 4. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\) .
Решение:
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство  \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\) 
\(3=\log _2\left(2^3\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\right)+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство \(\log _c\left(a\right)+\log _c\left(b\right)=\log _c\left(ab\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\left(1-x\right)\right)\)
\(x^2-6x=8\left(1-x\right)\)
\(x=2,\:x=-4\)
Ответ: \(x=2,\:x=-4\).
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Брянский государственный технический университет
Проведенных занятий:
494
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку 5-9 классов. Научу Вашего ребенка ПОНИМАТЬ английский язык. Благодаря моему обучению на Мальте, разработал свою методику преподавания. Со мной английский - это просто!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Новосибирский государственный технический университет
Проведенных занятий:
398
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Люблю математику за то, что она на практике показывает, что любую задачу можно решить. Считаю, что каждый ребенок может знать математику, нужно лишь немного терпения. Готов всегда помочь ученику, ответить на его вопросы, объяснить сложные вещи простым и понятным языком. С нетерпением буду ждать Вас на своих занятиях!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
РГПУ им.А.И.Герцена
Проведенных занятий:
81
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку 1-8 классов. Преподаю английский язык школьникам и постоянно совершенствуюсь в своем направлении. Предлагаю индивидуальный подход к каждому ученику и повышение общего уровня владения. Помощь в выполнении домашних заданий и освоении школьной программы.