Примеры решения уравнений: логарифм с переменным основанием

Примеры решения уравнений с логарифмами с переменным основанием.
Пример 1. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\).
Решение:
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _3\left(27\right)\)
Используем свойство логарифма: \(a=\log _b\left(b^a\right)\)
\(\log _3\left(27\right)=\log _2\left(2^{\log _3\left(27\right)}\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x+1\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(x+1=8\)\(-->x=7\)
Ответ:\(​​​​x=7\).

Пример 2. Найдите \(x:\)  \(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\).
Решение:
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)=1\)
Прибавим к обоим частям \(\ln \left(x+1\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)-\ln \left(x+1\right)+\ln \left(x+1\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
\(\ln \left(x+2\right)=1+\ln \left(x+1\right)\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\), так как  \(1=\ln \left(e^1\right)=\ln \left(e\right)\):
\(\ln \left(x+2\right)=\ln \left(e\right)+\ln \left(x+1\right)\)
\(x+2=e\left(x+1\right)\)
\(\:x+2=e\left(x+1\right)-->x(1-e)=e-2-->\quad x=\frac{e-2}{-e+1}\)
Ответ: \(x=\frac{e-2}{-e+1}\).

Пример 3. Найдите \(x:\) \(4+\log _3\left(7x\right)=10\) .
Решение:
\(4+\log _3\left(7x\right)=10\)
Вычтем от обоих частей равенства  \(4\):
\(4+\log _3\left(7x\right)-4=10-4\)
\(\log _3\left(7x\right)=6\)
Применим свойство \(\:a=\log _b\left(b^a\right)-->\)  \(6=\log _3\left(3^6\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(\log _3\left(7x\right)=\log _3\left(729\right)\)
\(7x=729-->\quad x=\frac{729}{7}\)
Ответ: \(x=\frac{729}{7}\).

Пример 4. Найдите \(x:\) \(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\) .
Решение:
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=3+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство  \(\:a=\log _b\left(b^a\right)\) 
\(3=\log _2\left(2^3\right)=\log _2\left(8\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\right)+\log _2\left(1-x\right)\)
Применим свойство \(\log _c\left(a\right)+\log _c\left(b\right)=\log _c\left(ab\right)\)
\(\log _2\left(x^2-6x\right)=\log _2\left(8\left(1-x\right)\right)\)
\(x^2-6x=8\left(1-x\right)\)
\(x=2,\:x=-4\)
Ответ: \(x=2,\:x=-4\).
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
1060
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Математика - отличный тренажер! Только тренирует он не мышцы, а наш ум! А я могу Вам помочь с тренировками, ведь изучать математику не всегда бывает легко. На занятиях будем развивать память и мышление, используя различные интересные задания и игры!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Орский государственный педагогический институт им. Т. Г. Шевченко, физико-математический факультет
Проведенных занятий:
6
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
"Математика — это язык!" Джозайя Гиббс Стараюсь не просто "натаскивать" ученика на решение стандартных задач, а учить думать. Основное внимание уделяю самостоятельной работе ученика под контролем преподавателя, помогающего в решении задач и направляющего в сложных моментах. Предметы - информатика и математика. Работаю с учениками 8-11 класс, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по информатике и математике.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
Проведенных занятий:
632
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, любая проверочная работа по математике и физике, контрольные работы, экзамены. Преподаю математику, физику школьникам на школьном уровне, знаком со многими форматами экзаменов по физике, в том числе ЕГЭ. Ученики, с которыми я работаю поступают на бюджет в разные вузы своих городов, а также Москвы и Санкт-Петербурга. С ЕГЭ по математике знаком хорошо. Я практикую разные методы преподавания в зависимости от того на каком уровне знаний находится ученик, что ученик хочет вспомнить, повторить или закрепить. Стараюсь понятно и доступно излагать не всегда простой материал. Мне нравится объяснять материал, показывать как можно применить полученные знания на практике при решении бытовых, практических задач.