Уравнения с параметром. Задание №18 в ЕГЭ

Условие:
 
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
 
Решение:
 
Перед тем, как мы приступим к решению этого задания, необходимо заметить, что нам необходимо указать интервал или конкретное значение \(а\), которое при подстановке в предложенную систему даст именно два различных решения. Теоретически, могут быть и такие значения \(а\), при которых мы сможем получить одно решение, множество решений или не получим ни одного решения. Вот, собственно, все возможные варианты.
Итак, решим первое уравнение относительно \(у\):
 
 
Как видите, мы сначала перенесли правую часть влево. Затем сгруппировали, выделив в первой скобке первые два элемента. А оставшиеся три элемента разложили на множители, как классическое квадратное уравнение. Это позволило нам получить две скобки, связанные знаком умножения и приравненные к нулю. Приравняв к нулю поочередно обе скобки, мы получили два корня.
Именно при двух корнях в решении нам и надо найти значения параметра \(а\)
 
Если рассмотреть случай (1): \(y = −7\). Для третьего условия системы при любом \(a\) получаем одно решение \(x = a + 7\), для которого второе условие системы, неравенство \(x ≥ −3\) верно только при \(a ≥ −10\).
 
Если рассмотреть случай (2): \(y=9-x^2\) ⇔ \(9-x^2=a-x\) ⇔ \(x^2-x+(a-9)=0\)
 
Так как дискриминант при этом получается: \(D=1-4(a-9)=37-4a,\)
то при \(a>9,25\) корней нет (\(D<0\)),
при \(a=9,25\) (\(D=0\)) получаем один корень \(x =0,5\) 
а при \(a<9,25\) получаем два различных корня.
 
Данное квадратное уравнение графически представляет собой параболу.
У параболы \(y=x^2-x+(-9)\) — ветви направлены вверх (коэффициент при \(x^2\)  равен 1, 1 > 0), абсцисса вершины равна \(0,5>0\)
Это значит, что оба корня не меньше -3 при \(3+a≥0\) то есть: при \(-3≤a<9,25\), а при \(a<-3\) один корень меньше −3, а другой — больше −3.
Этот анализ позволяет нам собрать сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблицу:
 

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2).
Тогда из равенства \(-7=9-x^2\)  ⇔ \(x = ±4 \) с учётом \(x ≥ -3\) возьмем только \(х = 4\), из \(x+y=a\) получаем, \(a = −3\). Таким образом, к условию \(−10 ≤ a < −3\) добавим \(a = −3\).
 
Ответ: \(-10≤a≤-3, a=9,25\)
 
Автор - Андрей Найденов
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Донецкий национальный университет
Проведенных занятий:
268
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 классов. Я люблю математику, поскольку математическое мышление помогает вникать в суть вещей и решать повседневные задачи. Математика тренирует память и развивает ум. С радостью помогу ученикам закрепить школьные знания и узнать новое. Научу правильно задавать вопросы, рассуждать и самостоятельно искать решение задач.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Могилёвский государственный университет имени А.А.Кулешова
Проведенных занятий:
188
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 4-9 классов. Мой подход в преподавании — не только устранить пробелы в теории, но и привить любовь к предмету, научить самостоятельно, “интуитивно” в нём ориентироваться. Мои ученики успешно сдают выпускные экзамены и пишут контрольные! «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии».
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку (2-10 классы) и русскому языку (1-9 классы), подготовка к ОГЭ. Английский язык позволяет познать мир и людей всего земного шара, стереть границы и изучить культуры разных стран, поэтому так важно для каждого знать язык, на котором говорят люди всех стран.

Курсы ЕГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Геометрия с нуля

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Функция

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие