ЕГЭ по математике, профильный уровень. Рациональные уравнения

Андрей Алексеевич рассматривает задачи, которые обязательно встретятся вам в ЕГЭ по математике. Вооружайтесь ручкой, тетрадью и тренируйтесь вместе с нами. 
 
Задание №13
 
Условие:
а) Решите уравнение
\({{(x-2)^2}\over2}+{{18}\over {(x-2)^2}}={7({x-2\over2}-{3\over x-2})}+10 \)
 
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \([-2;2]\)
    
Решение:
а) Начнем с того, что сделаем замену: "свернем" выражение, заключенное в большие скобки:
\(t={{x-2}\over2}-{3\over x-2}\) ,
 
Тогда мы сможем левую часть уравнения переписать в следующем виде:
 \(t^2={{(x-2)^2}\over 4}+{{9\over (x-2)^2 }}-3\)
Пусть нас не смущает "4" в знаменателе первой дроби, мы сможем выйти из этой ситуации, если запишем вот так:
 
Получилось, что мы преобразовали исходное уравнение в достаточно простую форму, что позволило нам найти два корня.
Вернемся к исходной переменной.
Если \(t=-{1\over2}\) , то
 
 
Если \(t=4\) , то
 
Итак, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие исходному уравнению.
 
б) Выясним теперь, какие из найденных корней принадлежат отрезку \([-2;2]\) 
Первый корень "\(х = - 1\)" принадлежит заданному отрезку.
Второй корень "\(х = 4\)" явно не подходит
Давайте оценим третий и четвертый корни:
Корень квадратный из "22", это число, которое меньше "5", так как корень квадратный из "25" равен "5", но больше "4", так как корень квадратный из "16" равен "4".
Тогда справедливы неравенства:
\(0<6-\sqrt22<6-4=2\)
Для третьего корня, и
\(6+\sqrt22>6+4=10>2\)
Для четвертого корня.
Отсюда следует, что из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа "-1" и "\(6- \sqrt22\)"».
 
Ответ: 
а){ \(-1;4;6- \sqrt22;6+\sqrt22\)}
б) \(-1;6- \sqrt22\)
 
Автор: Андрей Найденов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
31
Образование:
Астраханский педагогический институт
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Научу грамотно писать и правильно выражать свои мысли. Объясню сложные темы просто и доступно. Подготовлю к ОГЭ, ЕГЭ, ВПР поэтапно и без зубрёжки. Помогу поставить цель и успешно достичь её.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Российский университет дружбы народов
Проведенных занятий:
323
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Подбираю метод работы, отталкиваясь от уровня ученика, говорю с ним на "одном" языке, объясняю сложные вещи на простых примерах. Имею опыт работы по учебникам Школа России, Школа 21 век. Готовлю учеников по программе Петерсона, готовлю к олимпиадам. Самый главный принцип, которого я придерживаюсь - это индивидуальный подход к ребенку. Занятия провожу в легкой и непринужденной обстановке.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Самаркандский государственный университет
Проведенных занятий:
430
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Учитель первой категории. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Объясняю доступно, ясно, легко. Учитываю личность, характер ученика. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход.

Курс "Положительные и отрицательные числа" (6 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Логарифмы (урок)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие