ЕГЭ по математике, профильный уровень. Рациональные уравнения

Андрей Алексеевич рассматривает задачи, которые обязательно встретятся вам в ЕГЭ по математике. Вооружайтесь ручкой, тетрадью и тренируйтесь вместе с нами. 
 
Задание №13
 
Условие:
а) Решите уравнение
\({{(x-2)^2}\over2}+{{18}\over {(x-2)^2}}={7({x-2\over2}-{3\over x-2})}+10 \)
 
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку \([-2;2]\)
    
Решение:
а) Начнем с того, что сделаем замену: "свернем" выражение, заключенное в большие скобки:
\(t={{x-2}\over2}-{3\over x-2}\) ,
 
Тогда мы сможем левую часть уравнения переписать в следующем виде:
 \(t^2={{(x-2)^2}\over 4}+{{9\over (x-2)^2 }}-3\)
Пусть нас не смущает "4" в знаменателе первой дроби, мы сможем выйти из этой ситуации, если запишем вот так:
 
Получилось, что мы преобразовали исходное уравнение в достаточно простую форму, что позволило нам найти два корня.
Вернемся к исходной переменной.
Если \(t=-{1\over2}\) , то
 
 
Если \(t=4\) , то
 
Итак, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие исходному уравнению.
 
б) Выясним теперь, какие из найденных корней принадлежат отрезку \([-2;2]\) 
Первый корень "\(х = - 1\)" принадлежит заданному отрезку.
Второй корень "\(х = 4\)" явно не подходит
Давайте оценим третий и четвертый корни:
Корень квадратный из "22", это число, которое меньше "5", так как корень квадратный из "25" равен "5", но больше "4", так как корень квадратный из "16" равен "4".
Тогда справедливы неравенства:
\(0<6-\sqrt22<6-4=2\)
Для третьего корня, и
\(6+\sqrt22>6+4=10>2\)
Для четвертого корня.
Отсюда следует, что из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа "-1" и "\(6- \sqrt22\)"».
 
Ответ: 
а){ \(-1;4;6- \sqrt22;6+\sqrt22\)}
б) \(-1;6- \sqrt22\)
 
Автор: Андрей Найденов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
17
Образование:
Таганрогский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
34
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Преподаватель математики в 5-9 классах, подготовка к ОГЭ и ВПР. Очень люблю свой предмет и делаю всё возможное для того, чтобы мои ученики без проблем решали математические задания любой сложности. Имею большой опыт подготовки к ОГЭ обучающихся с разным уровнем знаний. Объясняю просто и понятно. Вместе с ребятами мы рассуждаем, мыслим, анализируем и достигаем поставленной цели.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
15
Образование:
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
Проведенных занятий:
209
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по обществознанию для 4-11 классов. Победитель, призёр и лауреат конкурсов педагогического мастерства (в т.ч. МГУ и МПГУ). Магистр права. На наших занятиях всегда интересно! По каждому вопросу привожу примеры и аналогии, что визуализирует материал, упрощает его понимание, прививает интерес к предмету и в итоге даёт положительный результат. Вместе у нас всё получится!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
42
Образование:
Казанский инженерно- строительный институт
Проведенных занятий:
86
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 6-9 классов. Готовлю к ОГЭ. Очень интересно и доступно помогу разобраться в изучаемой теме, выполнить домашнюю работу! Математика, это пожалуй одна из самых интересных и захватывающих дисциплин. И если ты полюбишь её и сумеешь понимать, тебе доступны очень многие дисциплины! Мы вместе будем проходить с тобой этот путь и верю, что тебе всё по силам! Наши уроки будут очень полезными, потому что мы сумеем разобраться в сложных темах, научимся решать задачи и полюбим математику. Также обучаю черчению.