Подготовка к контрольной работе по геометрии

Тема "Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов"
 
Данная статья адресована ученикам 9 класса, изучающим геометрию по учебнику "Геометрия 7-9", автор Л.С. Атанасян и другие.
 
Для начала повторим теорию.
 
1.Синус, косинус.  Для любого угла α из промежутка 0°≤α≤180° синусом угла α называется ордината y точки М, а косинусом угла α - абсцисса x точки М.
2. Основное тригонометрическое тождество, формулы приведения\(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1\)    \(sin⁡(90^0-α)=cos⁡α \)    \(cos⁡(90^0-α)=sin⁡α\)  при \(0^0≤α≤180^0\)
\(sin(180°-α)=sin⁡α , \) \(cos⁡(180°-α)=-cos⁡α \) при  \(0°≤α≤180°\)
3. Теорема о площади треугольника\(S= {1\over2}∙a∙b∙sin⁡C\)
4.Теорема синусов\({a\over sin⁡A} ={b\over sin⁡B} ={c\over sin⁡C} =2R\)
5.Теорема косинусов\(a^2=b^2+c^2-2∙a∙b∙cos⁡A\)
6. Скалярное произведение векторов.  \(a ⃗∙b ⃗=|a|∙|b|∙cos⁡(ab)\)                                                       
Если \(a ⃗\){\(x_1;y_1\)}, \(b ⃗\){\(x_1;y_1\)}    \(a ⃗∙b ⃗=x_1∙x_2+y_1∙y_2\)                 
Если  \(a ⃗⊥b ⃗\)   , то   \(x_1∙x_2+y_1∙y_2=0\)         
\(cos⁡α={x_1 x_2+y_1 y_2}\over√x_1^2+y_1^2 ∙√x_2^2+y_2^2 \)                                                                                              
 
Теперь перейдем к практике. Рассмотрим стандартный вариант контрольной работы для общеобразовательных школ.
 
№1 В треугольнике ABC  < A=400, <C=750,BC=17. Найдите неизвестные элементы треугольника и радиус описанной около него окружности.
 
Решение:
Как видно на чертеже, необходимо найти <B, стороны AB,AC. Найти неизвестные элементы треугольника, значит решить треугольник.
 
Так как известна сторона BC и <A, а они противолежащие, воспользуемся теоремой синусов \({a\over sin⁡A} ={b\over sin⁡B} ={c\over sin⁡C} =2R\) ,                                                  нам пока понадобиться только одна часть \({a\over sin⁡A} ={b\over sin⁡B} \)
 
Мы ее запишем нашим обозначением  \({BC\over sin⁡A} ={AB\over sin⁡C} \)   \({17\over sin⁡40} ={AB\over sin⁡75} \)   из этой пропорции можно найти  AB, но! Чаще всего используются значения  \(sin⁡∝ cos⁡∝\), если \(α=30^0\),\(45^0,60^0,90^0\), а вот как найти \(sin⁡40°, \) \(sin⁡75°\)? Такие значения - причины всех ошибок. Так как эти значения ученик знать не может, и не должен. Для нахождения подобных значений используются таблицы Брадиса Владимира Модестовича, они есть в любой школе, но сейчас их используют редко, так как любой калькулятор может вычислить эти значения. Только следите, чтоб производился ввод в градусах, так как существует еще ввод в радианах. Итак, смотрим, что \(sin⁡40°=0,62\)  \(sin⁡75°=0,97\), эти значения приблизительные, так как на самом деле это бесконечные непериодические дроби.    
 
Итак,  \({17\over 0,62}={AB\over 0,97}\)  отсюда AB= \(AB={{17∙0.97}\over {0.62}}={26.6} \). С помощью отношения \({17\over0,62}=2R\) найдем радиус,  \(R={17\over0,62} :2=13\)
 
Так как нам известны два угла треугольника, то найдем третий \(180-(40+75)=65^0 <B\). Если известен <B и стороны AB и BC , то по теореме косинусов можно найти AC. 
\(a^2=b^2+c^2-2∙a∙b∙cos⁡A\)  для нашего треугольника, она будет выглядеть так \(AC^2=AB^2+BC^2-2∙AB∙BC∙cos⁡B\) 
\(AC^2=26.6^2+17^2-2∙26.6∙17∙ cos⁡65°\)
\(cos⁡65°=0,42\) (смотрим на калькуляторе). Все считаем, не забываем порядок действий и получаем AC2=617 и если уж мы считаем все приблизительно, то √617 тоже считаем на калькуляторе. AC=24,8.
 
Ответ: <B=650, AB=26.6, AC=24,8.
 
И пусть вас не смущает использование калькулятора, по-другому эти задачи решить нельзя. Иногда учителя меняют значения углов на табличные. Тогда, конечно, использовать калькулятор не нужно.
 
№2 В треугольнике PKH PK=6, KH=5,<PKH=1000, HF-медиана. Найдите HF  и площадь треугольника PFH.
Решение:
Начинаем с того, что нам дано. FH-медиана, значит т.F делит сторону PK пополам. FP=3
Известны две стороны и угол между ними, значит для стороны, которая лежит напротив угла, применяем теорему косинусов. 
\(PH^2=PK^2+KH^2-2∙PK∙KH∙cos⁡100\)   как видите, нам нужен \(cos⁡100=-0,17\)= (по калькулятору)                                                  
\(PH^2=6^2+5^2-2∙6∙5∙(-0,17)=71,2 \)  \(PK=√71.2=8.4 \) (корень вычисляем по калькулятору). Зная сторону и противолежащий угол, можем воспользоваться теоремой синусов. \({PH\over sin⁡K} ={KH\over sin⁡P} \) . \({8.4\over sin⁡100} ={5\over sin⁡P} \), откуда \(sin P={0.98∙5\over8.4}=0.58 \) и вот тут, чтобы вычислить угол P, нам не всякий калькулятор поможет, нужны таблицы Брадиса. По таблице смотрим  P=35030’ . С другой стороны, чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно знать sin угла, а не то, чему он равен.
 
\(S= {1\over2}∙a∙b∙sin⁡C \)
 
Для нашего треугольника \(S={1\over2}∙FP∙PH∙sin⁡P= {1\over2}∙3∙8.4∙0.58=7.3.\)
Как видим, нам не хватает стороны FH, она же медиана. Находим ее по теореме косинусов \(FH^2=FK^2+KH^2-2∙FK∙KH∙cos⁡100=9+25-2∙3∙5∙(−0.17)=39.1 \) 
\(FH=√39.1=6.3 \) (корень вычислили с помощью калькулятора).
 
Ответ: HF=6.3, S=7.3
 
№3 Даны два отрезка EK и PM, причем EKPM, E(-3;1), K(1;4), M(2;1), P(-4;a). Найдите острый угол между PE и EK.
 
Решение:
 
Так как нам не полностью известна координата т. P, у нее y=a, необходимо ее найти. Для этого используем, то, что EK⊥PM.                        
Найдем координаты вектора \(EK ⃗\) {\(1-(-3);4-1\)} от координаты конечной т.K, отнимаем координаты начальной точки E. \(EK ⃗\){\(4;3\)}. Выразим координаты вектора \(PM ⃗\). Выразим, потому что нам не известны все числа. \(PM ⃗\){\(2-(-4);1-a\)}  \(PM ⃗\){\(6;1-a\)}
То, что вектора перпендикулярны, означает, что их скалярное произведение равно 0. Найдем скалярное произведение векторов \(EK ⃗\) и \(PM ⃗\), для этого перемножим их соответствующие координаты.    
\(EK ⃗∙PM ⃗=4∙6+3∙(1-a)=24+3-3a=27-3a=0\)          
Значит \(a=9\)\(PM ⃗\){\(6;-8\)}, \(P(-4;9)\)
Можно найти угол между прямыми PE и EK. \(cos⁡α={{x_1 x_2+y_1 y_2}\over √x_1^2+y_1^2 ∙√x_2^2+y_2^2}\)
Найдем координаты вектора \(PE ⃗\){\(-3-(-4);1-9\)}   \(PE ⃗\){\(1;-8\)}, а координаты  вектора  \(EK ⃗\){\(4;3\)} нам известны.                                   
Подставим в формулу
 
 
Как видим, известного ответа опять не будет, поэтому считаем значение дроби приблизительно, получаем   \(cos⁡E=-{1\over 2} <E=60^0\), не ровно 60, а чуть больше.
 
Ответ 60015’
 
Автор - Ольга Лардыга
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Erciyes üniversitesi
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
6 yıldır Türkiye' de yaşamaktayım. Rusça ve Ukraynaca dillerine ana dilim olması sebebiyle ve de Rus Dili Edebiyatı mezunu olmam sebebiyle hem teorik hem pratikte hakimim. 2018’ den bu yana Türklere Rusça öğretmenliği yapmaktayım. Derslerimizi hedeflerinize ve seviyenize göre hazırlamaktayım, (konuşma, dinleme ve okuma aktiviteleri uyguluyorum). Ana dilimi anlatmaktan çok keyif alıyorum ve eminim ki siz de alırsınız. 2019' den bu yana yabancilara (Rusça bilenlere) Türkçe öğretmenliği yapmaktayım.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Кубанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
220
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ (базовый и профильный). Люблю математику за то, что она развивает аналитическое и критическое мышление Системно-деятельностный подход Информационно-развивающий и репродуктивный методы Подробное и доступное объяснение, уважительное отношение, индивидуальный подход Умею находить подход к ученикам любого уровня подготовки.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
БГПУ им.М.Танка
Проведенных занятий:
8062
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов. Люблю математику за её красоту и элегантность. "Математика - это музыка в цифрах." При обучении всегда провожу параллели с примерами из жизни.