Задачи на оптимизацию. Задание №17 из ЕГЭ

 
Задача №1
 
Условие:
 
Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
 
Решение
 
Пусть \(y\) — количество лет хранения акций, \(x \) — количество лет держания вырученных от продажи акций средств в банке.
 
Имеем \(x +y=20\), откуда \(x=20-y\).
 
Запишем уравнение (целевую функцию) прибыли \(y^2+y^2*x*0,25\), подставим выражение для \(x\),
 
имеем  \(y^2+y^2*(20-y)*0,25=y^2+5y^2-0,25y^3\).
 
Возьмем производную от полученного выражения, имеем \(12y+0,75y^2\) или \(y=12:0,75=16\).
 
Таким образом, держать средства для получения максимальной прибыли следует 16 лет.
 
Ответ: 16.
 

Задача №2
 
Условие:
 
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
 
Решение
 
Пусть \(x \) — количество приборов, выпущенных на первом заводе, \(y \) — количество приборов, выпущенных на втором заводе. Тогда \(x+y=20\) или выразим \(y\) имеем \(y=20-x\).
 
Запишем целевую функцию \(4x^3+у3= 4x^3+(20-x)^3=4x^3+8000-1200x+60x-x^3=3x^3-1140x+8000\).
 
Возьмем произодную от полученного выражения имеем \(9x^2-1140=0\).
 
Решим полученное уравнение \(x^2=126\).
 
Получаем, что на первом заводе следует выпустить 11 приборов. Соответственно, на втором заводе надо выпустить 9 приборов. Посчитаем наименьшую сумму, которую придется заплатить рабочим за неделю.
 
Имеем \(1000*4*11^3+1000*9^3=1331000*4+729000=5324000+729000=6053000\).
 
Ответ: 6053000.
 

Задача №3
 
Условие:
 
Зависимость количества Q (в шт., 0 ≤ Q ≤ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=20000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 6000Q + 4000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0 <t <10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ - 6000Q - 4000000 - tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
 
Решение
 
Запишем целевую функцию, прибыль фирмы, она равна PQ-6000Q- 4000000-tQ.
 
Подставим в нее значение Q=20000-P.
 
Имеем P(20000-P)-6000(20000-P)-4000000-t(20000-P)=20000P-P2-120000000-6000P-4000000-20000t+tP=-P2+14000P+tP-20000t-124000000=-P2+P(14000+t)-(20000t+124000000).
 
По условию задачи эта функция достигает максимума, найдем точку максимума, для этого возьмем производную, приравняем нулю и решим полученное уравнение.
 
Имеем -2Р+14000+t=0, откуда получаем значение P=7000+t/2.
 
Подставим полученное значение в целевую функцию, имеем -(7000+t/2)2+(7000+t/2)(14000+t)- 20000t+124000000) = 49000000 + 7000t + t2/4+98000000+7000t+7000t+t2/2=3t2/4+21000t+147000000.
 
Найдем точку максимума, т. е. возьмем производную, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение.
 
Имеем 1,5t+21000=0 или t=14000.
 
При этом значении сумма налогов полученных государством будет максимальна. Но у по условию задачи оно должно быть меньше 10000. Поэтому  положим t=10000.
 
Ответ:10000.
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
1214
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов. В математике есть не только истина, но и наивысшая красота! Помогу Вам познать эту красоту и простоту. Понять математику не сложно, эта наука - фактов. И как ни странно это звучит, легче понимают этот язык фактов именно дети. И чем раньше мы начинаем уделять этому время, тем больших высот мы достигаем! Мы будем развивать мозг, он также как мускулы, развивается, когда его тренируешь! В процессе учебы будет развиваться воображение и логическое мышление и самое главное - уверенность в себе. Ты точно сможешь овладеть математическими знаниями, умениями и навыками так необходимыми в жизни. Доверьтесь мне и моему опыту и все получится!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
568
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 2-6 классов. 11 лет опыта работы в школе и гимназии. Имею педагогическое и экономическое образование. В процессе обучения развиваю математическое мышление, делаю математику понятной и любимой.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
11
Образование:
Украинский химико-технологический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии. Химия - непростая наука, зато очень интересная и для некоторых даже загадочная. Химия - царица наук! Большая половина предметов, окружающих нас - это химия. Моя задача: открыть логичность и последовательность химии на своих занятиях.

Урок "Натуральные числа" (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Десятичные дроби: (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие