Степенные ряды

 
Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .
 
Определение 2. Если при x=x0 функциональный ряд сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда.
 
Определение 3. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
 
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S(x).
 
Определение 4. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
 
 
где a, a0, a1, a2, …, an, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
 
Теорема 1. (О структуре области сходимости степенного ряда)
 
Областью сходимости степенного ряда (1) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R=(если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.
 
Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
 
|a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+…       (2)
 
Применим к ряду (2) признак Даламбера
 
Возможны три случая:
 
1. Если  \({|x-a|}\over R\) < 1 или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (2) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (1), причём абсолютно.
 
2. Если \({|x-a|}\over R\)> 1, то ряд (2) расходится. В этом случае , то есть при достаточно больших n|un+1|>|un|,
 
 
следовательно, ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
 
Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.
 
Замечание. Любой степенной ряд (1) сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда (1) нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд (1) сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.
 
Свойства степенных рядов
 
Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:
 
1. Сумма S(x) степенного ряда
 
S(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+…       (1)
 
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).
 
2. Ряд
φ(x)=a1+2a2(x-a)+…+nan(x-a)n-1+…, (3)
 
полученный почленным дифференцированием ряда (1), является степенным рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости (a-R;a+R).
Сумма ряда (3) φ(x)=S'(x).
 
Замечание. Ряд (3) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна φ' (x)=S''(x) и так далее. Таким образом, сумма S(x) ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости (a-R; a+R). Сумма ряда, полученного из ряда (1) n-кратным дифференцированием равна \(S^n\)(x). Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.
 
3. Пусть числа a и β принадлежат интервалу сходимости (a-R; a+R) ряда (1). Тогда имеет место равенство
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
15
Образование:
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
Проведенных занятий:
209
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по обществознанию для 4-11 классов. Победитель, призёр и лауреат конкурсов педагогического мастерства (в т.ч. МГУ и МПГУ). Магистр права. На наших занятиях всегда интересно! По каждому вопросу привожу примеры и аналогии, что визуализирует материал, упрощает его понимание, прививает интерес к предмету и в итоге даёт положительный результат. Вместе у нас всё получится!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
БГПУ им.Максима Танка
Проведенных занятий:
2791
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-7 классов. Математика - это чудесный мир логики и точности. Дорога в этот мир лежит через старания, внимательность и весёлые задания. Необычные решения и интерес помогут разобраться и полюбить эту науку!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
МГУ имени А.А.Кулешова
Проведенных занятий:
213
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 4-9 классов и информатике 1-9 классов. «Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым». Математику люблю за ее точность и простоту, Для путешествий, в завораживающий «мир математики», использую методику крупноблочного изложения учебного материала и ИКТ. С легкостью нахожу контакт и индивидуальный подход для каждого ученика. Ментальная арифметика, математика на английском языке.