Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
Степенные ряды
Обновлено: 17 окт 2023
Степенные ряды
Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .
Определение 2. Если при x=x0 функциональный ряд сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда.
Определение 3. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S(x).
Определение 4. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
![](/common/upload/ckeditor/859-36e526737cf1e95bd9d4194b410218e3.png)
где a, a0, a1, a2, …, an, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Теорема 1. (О структуре области сходимости степенного ряда)
Областью сходимости степенного ряда (1) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R=
(если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.
![](/common/upload/ckeditor/666-04c9020b9c86aff0fafe2a760ae837b9.png)
Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+… (2)
Применим к ряду (2) признак Даламбера
![](/common/upload/ckeditor/18-1ff443a8b51712d5a3c7602d1d38195b.png)
Возможны три случая:
1. Если \({|x-a|}\over R\) < 1 или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (2) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (1), причём абсолютно.
2. Если \({|x-a|}\over R\)> 1, то ряд (2) расходится. В этом случае
, то есть при достаточно больших n|un+1|>|un|,
![](/common/upload/ckeditor/433-365d1f57c83c3399867a10c6f391c967.png)
![](/common/upload/ckeditor/327-93bedcc757e192e753ecd2db4419079a.png)
следовательно, ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Замечание. Любой степенной ряд (1) сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда (1) нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд (1) сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.
Свойства степенных рядов
Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:
1. Сумма S(x) степенного ряда
S(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+… (1)
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).
2. Ряд
φ(x)=a1+2a2(x-a)+…+nan(x-a)n-1+…, (3)
полученный почленным дифференцированием ряда (1), является степенным рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости (a-R;a+R).
Сумма ряда (3) φ(x)=S'(x).
Замечание. Ряд (3) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна φ' (x)=S''(x) и так далее. Таким образом, сумма S(x) ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости (a-R; a+R). Сумма ряда, полученного из ряда (1) n-кратным дифференцированием равна \(S^n\)(x). Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.
3. Пусть числа a и β принадлежат интервалу сходимости (a-R; a+R) ряда (1). Тогда имеет место равенство
![](/common/upload/ckeditor/294-b15c3a0643a9930a1e6bf596a9f2c3d4.png)
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Репетитор по олимпиадной математике
-
Репетитор по геометрии
-
Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
-
Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
-
Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
-
ВПР по математике
-
Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
-
Подготовка к ОГЭ по литературе
-
Программирование Pascal