Степенные ряды
Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+… .
Определение 2. Если при x=x0 функциональный ряд сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда.
Определение 3. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от x. Будем обозначать её S(x).
Определение 4. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a, a0, a1, a2, …, an, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Теорема 1. (О структуре области сходимости степенного ряда)
Областью сходимости степенного ряда (1) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R=
(если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|a0|+|a1|.|x-a|+|a2|.|x-a|2+…+|an|.|x-a|n+… (2)
Применим к ряду (2) признак Даламбера

Возможны три случая:
1. Если \({|x-a|}\over R\) < 1 или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (2) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (1), причём абсолютно.
2. Если \({|x-a|}\over R\)> 1, то ряд (2) расходится. В этом случае
, то есть при достаточно больших n|un+1|>|un|,


следовательно, ряд (1) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Определение 14. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Замечание. Любой степенной ряд (1) сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда (1) нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд (1) сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.
Свойства степенных рядов
Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:
1. Сумма S(x) степенного ряда
S(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+… (1)
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).
2. Ряд
φ(x)=a1+2a2(x-a)+…+nan(x-a)n-1+…, (3)
полученный почленным дифференцированием ряда (1), является степенным рядом с тем же, что и ряд (1), интервалом сходимости (a-R;a+R).
Сумма ряда (3) φ(x)=S'(x).
Замечание. Ряд (3) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна φ' (x)=S''(x) и так далее. Таким образом, сумма S(x) ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости (a-R; a+R). Сумма ряда, полученного из ряда (1) n-кратным дифференцированием равна \(S^n\)(x). Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.
3. Пусть числа a и β принадлежат интервалу сходимости (a-R; a+R) ряда (1). Тогда имеет место равенство

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
13
Образование:
Курский государственный медицинский университет
Проведенных занятий:
444
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
31
Образование:
БГПУ им. Танка
Проведенных занятий:
2447
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Ереванский госпединститут русского и иностранных языков им. В.Я.Брюсова
Проведенных занятий:
536
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Репетитор по олимпиадной математике
- Репетитор по геометрии
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
- ВПР по математике
- Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Программирование Pascal
Похожие статьи
- Жизни математиков (часть 1)
- НИУ ВШЭ: Государственное и Муниципальное Управление
- Подготовка к контрольной работе по геометрии
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Тригонометрическое уравнение
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Прямоугольный треугольник (вариант 4)
- Задачи на движение по прямой (вариант 3)
- Наводим красоту: топ-10 простых и красивых причесок для девушек (разного возраста)
- Переход в другую школу: как помочь ребенку справиться со стрессом и влиться в коллектив
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так