Простые и составные числа

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Что такое простые числа
Что такое составные числа
Что такое "решето Эратосфена"
Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером

Тема "Простые и составные числа" — это основа для понимания арифметики и математики в целом.

Для начала, давай определим, что такое простые и составные числа.

Что такое простые числа

Простые числа — это числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само число. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д. Все простые числа больше 1.

Что такое составные числа

Составные числа — это числа, которые имеют более двух делителей. Например, 4, 6, 8, 9, 10, 12 и т.д. В составные числа входят все числа, кроме простых.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, необходимо разложить его на простые множители. Это можно сделать с помощью метода факторизации.

Например, для числа 20, мы можем разложить его на простые множители следующим образом: 20 = 2 x 2 x 5. Значит, 20 - это составное число, которое можно разложить на простые множители 2 и 5.

Чтобы проверить, является ли число простым, необходимо проверить, делится ли оно на любое число, кроме 1 и самого себя. Если число делится на какое-то другое число, то оно является составным.

Например, число 7 — простое, потому что оно делится только на 1 и на само себя. А число 9 — составное, потому что оно делится на 1, 3 и на само себя.

Простые числа являются важными в математике и науке в целом. Они используются, например, в шифровании данных, в теории чисел и в других областях.

Давайте вспомним, как разложить число на простые множители, для этого нам надо разбить число на простые множители:

Другими словами, составное число имеет более двух делителей. Все четные числа являются составными числами, кроме \(2\).

Все числа, которые заканчиваются на пять, делятся на пять. Поэтому все числа, кратные 5 и больше пяти, являются составными числами.

Натуральное число, которое имеет только два делителя, единицу и само себя, называется простым. Числа \(0\) и \(1\) не являются ни простыми, ни составными. Если любое целое число больше \(1\) не является простым числом, то это составное число. Ниже приведена таблица простых чисел.

Что такое "решето Эратосфена"

Решето Эратосфена - это метод нахождения всех простых чисел до заданного числа. Этот метод был придуман древнегреческим ученым Эратосфеном, который был известен своими работами в области геометрии, астрономии и математики.

Суть метода Решета Эратосфена заключается в последовательном отсеивании составных чисел, начиная с числа 2, которое является первым простым числом. Сначала мы выписываем все числа от 2 до заданного числа в ряд, затем вычеркиваем все кратные 2 числа, оставляя только 2 как простое число. Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу, которое будет простым числом, и вычеркиваем все его кратные числа. И так далее, пока не достигнем заданного числа.

Например, для того, чтобы найти все простые числа до 30, мы выписываем все числа от 2 до 30:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Затем мы начинаем вычеркивать все кратные числа 2, оставляя только 2:

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (3) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 3:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Затем мы переходим к следующему незачеркнутому числу (5) и вычеркиваем все его кратные числа, оставляя только 5:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

И так далее, пока не достигнем заданного числа.

В итоге мы получим все простые числа до заданного числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Метод Решета Эратосфена является эффективным способом нахождения всех простых чисел до заданного числа, особенно если заданное число большое.

Алгоритм проверки числа на простоту с доказательством и примером

Алгоритм проверки числа на простоту можно реализовать разными способами, но один из наиболее эффективных и простых методов - это проверка делителей.

Алгоритм проверки числа на простоту:

Проверяем, является ли число меньше или равным 1. Если да, то число не является простым.

Проверяем, является ли число 2. Если да, то число является простым.

Проверяем, является ли число четным. Если да, то число не является простым, за исключением случая, когда это число 2.

Для нечетного числа n проверяем, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n и d является делителем n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. В противном случае n является простым числом.

Доказательство:

Как известно, простое число это такое число, которое имеет только два делителя: 1 и само число. Другими словами, если n является простым числом, то у него нет делителей, кроме 1 и самого n. Поэтому для проверки числа n на простоту достаточно проверить, есть ли у него делитель d, такой что 1 < d < n. Если такой делитель найден, то n не является простым числом. Если такого делителя нет, то n является простым числом.

Пример:

Проверим, является ли число 17 простым числом, используя алгоритм проверки делителей.

Число 17 не меньше или равно 1.

Число 17 не является 2.

Число 17 не является четным.

Проверяем, есть ли у числа 17 делитель d, такой что 1 < d < 17 и d является делителем 17. Начнем с делителя 3. 17 не делится на 3 без остатка. Попробуем делитель 5. 17 не делится на 5 без остатка. Продолжим проверку для делителей 7, 9, 11 и 13. Ни один из этих делителей не является делителем 17. Значит, 17 является простым числом.

Таким образом, мы проверили, что 17 является простым числом, используя алгоритм проверки делителей.

Задача 1. Найдите наименьшие два простых числа, разность которых равна 40.