Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
Тройные интегралы
Обновлено: 05 фев 2024
Тройные интегралы
Имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования
1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.
Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда
![](/common/upload/ckeditor/643-c9e8302b47bd73da3461e0044aa663af.png)
Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим
![](/common/upload/ckeditor/694-423369c6cf66970bcaffba10e982fc84.png)
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.
Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь
![](/common/upload/ckeditor/686-393c778b493d3d135fe6cbe3f73d868c.png)
где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.
Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.
2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью x=const, a ≤ x ≤ b представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда
![](/common/upload/ckeditor/522-60bac4cb451a361420176cb4d491ab00.png)
![](/common/upload/ckeditor/342-0ac80ff4db25c6d72bd7ab4112cd2904.png)
3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z1(x, y) и z = z2(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z1(x, y) и z2(x, y) - непрерывны в G. Тогда
![](/common/upload/ckeditor/682-842bf682da75c596dd26e66e2a0253d9.png)
Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.
II. Замена переменных в тройном интеграле
состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам
![](/common/upload/ckeditor/886-d9c1fda9df53607db3ecc0fd63a7d0e9.png)
![](/common/upload/ckeditor/219-b85311d59eaae3f92bd24f40be9f465f.png)
Если выполняются условия
![](/common/upload/ckeditor/515-33e1dd9ea207f9b5ca09b9a41aab68c4.png)
то имеет место формула
![](/common/upload/ckeditor/695-70bdcdb6739586275641dedcf89c049a.png)
Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T. Рассмотрим примеры криволинейных координат.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
![](/common/upload/ckeditor/88-0f0340be101a36b78ffa1b1f7d079f39.png)
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел (r,φ,z), где (r,φ) - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
![](/common/upload/ckeditor/5-1a4297b1dc211846467b5b53b52ff667.png)
2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел (r,θ,φ), где r - расстояние точки M до точки 0, θ - угол между лучами OM и OZ, φ - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел (r,θ,φ) называется сферическими координатами точки M.
![](/common/upload/ckeditor/193-3ffde6e3eccf756f7ec3688dda8ce8b4.png)
Они связаны с прямоугольными формулами
![](/common/upload/ckeditor/729-b198dbb8d075e978e8ff411a29611f67.png)
Якобиан отображения
![](/common/upload/ckeditor/79-42887bf4cd7d788fe96561119b44f380.png)
Иногда используются обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
![](/common/upload/ckeditor/467-b85c8cd754391809aacafaa9fdaa3951.png)
Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах
![](/common/upload/ckeditor/883-58f4ae615e1e6df13f72ec21613c4478.png)
Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью ![](/common/upload/ckeditor/323-2269b41b76eae476a837a8f5924574e2.png)
![](/common/upload/ckeditor/323-2269b41b76eae476a837a8f5924574e2.png)
Тогда
![](/common/upload/ckeditor/641-4a65d1ebd3e3842832e083ad0cf02542.png)
Пример1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 - ax = 0. (рис. 5)
![](/common/upload/ckeditor/149-7864e74aaa4c6ecdcee9124d13462dda.png)
Решение. Рассмотрим одну четвёртую часть тела, лежащую в первом октанте. Часть поверхности \(z={\sqrt {a^2-x^2-y^2}}\) вырезанная цилиндром, проектируется в область
![](/common/upload/ckeditor/655-1244c0c2b120fecf7944c98908c30014.png)
Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом уравнение окружности x? + y? - ax = 0 преобразуется в кривую
![](/common/upload/ckeditor/976-b215d1d2dd72fcfadcf0d223e9e16bba.png)
Таким образом
![](/common/upload/ckeditor/355-bbf8e9c3028a43cc1e4c07bbbea1b70d.png)
Пример 2. Вычислить интеграл
![](/common/upload/ckeditor/584-85ab06447f27ff80ffbc3cad07e47fea.png)
![](/common/upload/ckeditor/75-51ae1a9f8032735a8dfea57681632dd4.png)
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
![](/common/upload/ckeditor/308-d3edd37035698099514998c7a990a224.png)
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Подготовка к ОГЭ по математике
-
Репетитор по олимпиадной математике
-
Репетитор по алгебре
-
Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
-
Репетитор по английскому для взрослых
-
ВПР по математике
-
Репетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
-
Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
-
Программирование Pascal