ЕГЭ по математике, профильный уровень. Иррациональное уравнение

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Продолжаем готовиться к экзаменам вместе с лучшими преподавателями Альфа-школы. В новой статье Андрей Алексеевич показывает подробное решение задачи из темы "Иррациональное уравнение".

Условие:

а) Решите уравнение

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\sqrt3;\sqrt30]\).

Решение

Основным способом решения таких уравнений является возведение «в квадрат» обеих частей уравнения. Это позволяет избавиться от квадратного корня, а значит, уйти от иррациональности. Однако возведение обеих частей «в квадрат» накладывает существенное условие, которое необходимо выполнять. А именно – правая часть уравнения должна быть обязательно больше или равна нулю.

а) Начнем решать это уравнение:

Как видите, мы учли, что правая часть исходного уравнения «3 – х» больше или равна нулю. После возведения в квадрат обеих частей мы раскрыли скобки в правой части по формуле сокращенного умножения, перенесли получившееся выражение в левую часть и привели подобные. Получилось кубическое уравнение. Сгруппируем выражение в левой части:

Как видите, из получившихся трех корней только два удовлетворяют условию «3 – х» больше или равна нулю.

Первая часть задания выполнена, уравнение решено.

б) Чтобы найти корни, удовлетворяющие заданному промежутку, необходимо оценить, чему будет равен «корень из трех» и «корень из 30», относительно «-2» и «2», не забывая о «минусе» перед числами. Либо оценить и сравнить между собой «квадраты» всех участвующих в оценке чисел, т.е. «квадрат 2», «квадрат корня из 3» и «квадрат корня из 30». Получаем, что:

\(-2<-\sqrt3<2<\sqrt30\)

Отсюда видно, что заданному отрезку \([-\sqrt3;\sqrt30]\) принадлежит только число 2.

Ответ: а) {-2;2}; б) 2.

Автор - Андрей Найденов

Предыдущая статья