img

Как возвести комплексное число в n-ую степень

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи.
 
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
 
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   
   
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . Далее рассмотрим, как найти аргумент комплексного числа.
 
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 
 
 
Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
 
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа в степени к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
 
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме
 
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 
Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  
Получаем:

Комплексные числа: формулы

 
Операции с комплексными числами в тригонометрической форме:
 
 
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
 
 

Часто задаваемые вопросы:

Для возведения комплексного числа в n-ую степень нужно возвести его модуль в степень n, а аргумент умножить на n. Затем полученное значение нужно представить в показательной форме комплексного числа.

Если n является целым числом, то можно использовать формулу де Муавра. Сначала нужно записать комплексное число в тригонометрической форме, затем возвести его модуль в степень n, а аргумент умножить на n. Результат представляет собой комплексное число в тригонометрической форме.

Если n является нецелым числом, то можно использовать формулу Эйлера. Сначала нужно записать комплексное число в показательной форме. Затем возвести модуль в степень n и умножить аргумент на n. Результат представляет собой комплексное число в показательной форме.

 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
29
Образование:
Курский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
385
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Столичный центр переподготовки г. Москвы
Проведенных занятий:
314
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Брянский государственный технический университет
Проведенных занятий:
457
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)