Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок

Как возвести комплексное число в n-ую степень
#Математика
#Подготовка к ЕГЭ
#ЕГЭ по математике
#ОГЭ по математике
#Подготовка к ОГЭ
Обновлено: 04 июн 2024
Как возвести комплексное число в n-ую степень
Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается |a+ bi | или буквой r и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan φ = b / a . Далее рассмотрим, как найти аргумент комплексного числа.
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\) и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
|
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа в степени к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\) в тригонометрической форме
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\)
Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\) равен \(-{π\over3}\)
Получаем:

Комплексные числа: формулы
Операции с комплексными числами в тригонометрической форме:

Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
Автор - Дмитрий Айстраханов
Часто задаваемые вопросы
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Репетиторы
Специализация
-
Репетитор по геометрии
-
Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
-
Репетитор по грамматике русского языка
-
Репетитор по английскому ОГЭ
-
Репетитор по английскому для взрослых
-
Репетитор по математике для ВПР
-
Репетитор для подготовки к ВПР по русскому языку
-
Репетитор по обществознанию ЕГЭ
-
Репетитор по биологии ОГЭ
-
Репетитор по географии ЕГЭ