Как возвести комплексное число в n-ую степень

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Комплексные числа: формулы

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается |a+ bi | или буквой r и равен:

\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan φ = b / a . Далее рассмотрим, как найти аргумент комплексного числа.

Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\) и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается:

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа в степени к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\) в тригонометрической форме

Решение:

Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\)

Аргумент данного числа находится из системы: