Как возвести комплексное число в n-ую степень

Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи.
 
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
 
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   
   
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . Далее рассмотрим, как найти аргумент комплексного числа.
 
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 
 
 
Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
 
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа в степени к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
 
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме
 
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 
Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  
Получаем:

Комплексные числа: формулы

 
Операции с комплексными числами в тригонометрической форме:
 
 
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
 
 
 
 
 

Часто задаваемые вопросы

✅ Как возвести комплексное число в n-ую степень?
✅ Как вычислить степень комплексного числа, если n - целое число?
✅ Как вычислить степень комплексного числа, если n - нецелое число?

Похожие статьи

img

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Обновлено: 31 мар 2024

img

Вычитание трехзначных чисел в столбик

Обновлено: 12 июл 2024

img

Как перевести квадратные сантиметры в квадратные миллиметры

Обновлено: 03 апр 2024

img

Сколько одно число составляет в процентах от другого?

Обновлено: 19 июн 2024

img img img

ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Равнобедренный треугольник (вариант 1)

Обновлено: 02 апр 2024

img

Как решать задание №21 из ОГЭ по математике

Обновлено: 22 апр 2024