Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается |a+ bi | или буквой r и равен:

\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan φ = b / a .

Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\) и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается:

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\) в тригонометрической форме

Решение:

Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\)

Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\) равен \(-{π\over3}\)

Получаем:

Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:

Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.

Автор - Дмитрий Айстраханов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Елена Александровна Гинько

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Лариса Алексеевна Иванова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ставропольский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

286

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Светлана Валентиновна Емец

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный педагогический университет"

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

Специализации