Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи
 
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
 
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   
   
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . 
 
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 
 
 
Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
 
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
 
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме
 
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 
Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  
Получаем:
 
Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:
 
 
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Гомельский государственный технический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 6-11 классов. Обществознание важно изучать каждому человеку, ведь оно дает дает фундаментальные знания о жизни человека в обществе, принципах взаимодействия людей друг с другом, государством, а также о внутреннем мире человека. В своей работе я использую репродуктивный метод, метод проблемного изложения, а также внедряю на занятиях элементы исследования. Своей любимой методикой могу назвать "Перевернутый класс" или " Сингапурскую методику". Буду рад увидеть вас на моих занятиях. Я помогу вам освоить не только базовую школьную программу и подготовить к экзаменам, но и помогу освоить углубленные знания, которые пригодятся вам не только в ВУЗе или колледже, но и в обычной жизни.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы
Проведенных занятий:
9
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку для 1-8 классов. Самое большое чудо, что создал человек – это язык. Без языка невозможна жизнь на Земле, невозможно развитие человека, его культуры, искусства, науки и техники. На уроках мы будем изучать русский язык при помощи увлекательных заданий. Также обучаю белорусскому языку.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
КГАУ
Проведенных занятий:
3001
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Докажу, что математика - это просто. Использую классическую методику преподавания. Мои ученики получают высокие балы по ОГЭ. За несколько уроков изменю ваше мнение о математике!