Как возвести комплексное число в n-ую степень
Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается |a+ bi | или буквой r и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan φ = b / a .
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\) и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
|
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\) в тригонометрической форме
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\)
Аргумент данного числа находится из системы:

Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\) равен \(-{π\over3}\)
Получаем:

Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:

Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
Автор - Дмитрий Айстраханов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка
Проведенных занятий:
18
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
286
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
19
Образование:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Самарский государственный педагогический университет"
Проведенных занятий:
11
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Репетитор по геометрии
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по грамматике русского языка
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по английскому для взрослых
- ВПР по математике
- Репетитор для подготовки к ВПР по русскому языку
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
- Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
Похожие статьи
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так