Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи
 
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
 
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   
   
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . 
 
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 
 
 
Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
 
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
 
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме
 
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 
Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  
Получаем:
 
Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:
 
 
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
11
Образование:
Славянский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
946
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 4-11 классов. Люблю математику за ее точность, последовательность, систематизированность. Готова поделиться своими знаниями с учениками, научить их любить математику так, как люблю ее я. Умею находить индивидуальный подход к каждому ученику, помогу повысить уровень знаний школьной математики, восполню пробелы в знаниях и помогу в подготовке к контрольным работам, сдаче тестов ОГЭ и ЕГЭ. Жду Вас на своих занятиях! Вместе мы достигнем высокого результата!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Ташкентский ордена Дружбы народов гос. педагогический институт
Проведенных занятий:
78
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 класса. Математику, я люблю за то, что это стройная система с четкими правилами. Которая охватывает огромное количество других наук, учит мыслить критически, закаляет характер, математика всегда пригодится в быту и приводит ум в порядок. Большой опыт по подготовке к ОГЭ, ВПР и другим диагностическим работам по математике. Мои ученики - активные участники различных конкурсов, олимпиад, (Всероссийская олимпиада школьников, "Кенгуру", и т.д.), но не только участники, но и победители и призёры. К каждому учащемуся стараюсь найти индивидуальный подход, в занятиях ориентируюсь на интересы ребенка и помогаю полюбить математику, показывая, как и где её можно применять в жизни. Создаю ситуацию успеха с учеником. Также есть опыт работы с детьми с особенностями развития. Мои достижения в преподавательской деятельности - это успехи моих учеников. Это и высокие баллы на экзаменах (от 60 и выше), экзамены пишем без двоек.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
Уральский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
207
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии 8-11 классов. Готовлю к ЕГЭ и ОГЭ по химии. Просто повышаю уровень знаний по химии. Объясняю простым и доступным языком. Даю прочные и необходимые знания для успешной сдачи экзаменов. Люблю химию за уникальность и исключительность. Могу заниматься бесконечно решением задач, составлением химических уравнений, выявлением закономерностей. Репетитор по математике 1-9 класс. Занимаюсь подготовкой к ОГЭ. Люблю математику за точность, рациональность и развитие логического мышления. Объясняю простым и доступным языком. Учу ребят рассуждать, говорить, мыслить и анализировать. Даю детям прочные знания. С любовью отношусь к своему делу и прививаю любовь к обучению детям.

Курсы ОГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие