Как возвести комплексное число в n-ую степень

Комплексное число имеет три формы записи: алгебраическая форма записи Z=a+bi, показательная и тригонометрическая форма записи
 
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  |a+ bi | или буквой  r  и равен:
\(r=|a+bi|= = { \sqrt{a^2+b^2}}\)
 
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.   
   
Аргумент комплексного числа - это угол φ между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan φ = b / a . 
 
Пусть \(z=a+bi, r=|z|={\sqrt{a^2+b^2}}\)  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем: 
 
 
Отсюда получается:
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
 
Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
 
Записать число \(z=1-{\sqrt3i}\)  в тригонометрической форме
 
Решение:
Найдем модуль этого числа: \(|z|={\sqrt{{1^2}+{(\sqrt3})^2}}={\sqrt {1+3}}=2\) 
Аргумент данного числа находится из системы:
Значит, один из аргументов числа \(z=1-{\sqrt3i}\)  равен  \(-{π\over3}\)  
Получаем:
 
Операции с комплесными числами в тригонометрической форме:
 
 
Последняя формула называется формулой Муавра и используется для возведения комплексного числа в n-ую степень.
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Белорусский государственный педагогический университ имени Максима Танка
Проведенных занятий:
76
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
21
Образование:
Рязанский государственный педагогический университет имени С. А. Есенина
Проведенных занятий:
677
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
1137
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации