Как определить объем пирамиды

Пирамида (др.-греч. πυραμίς, πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.
 
Лемма
Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.
 
Теорема
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: \(V={1\over3}S*H\) , где S – площадь основания, H – высота пирамиды.
 
Теорема 
Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле \(V={1\over3}H(S1+{{\sqrt {S1S2}}}+S2)\), где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.
 
Часто даны координаты вершин пирамиды ABCD и требуется найти ее объем. Даная задача может быть решена методами аналитической геометрии. Покажем ее решение на примере.
 
Пусть даны координаты вершин пирамиды ABCD и требуется найти ее объем: A(10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).
Решение
 
Объем пирамиды равен \(1\over6\) объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. Найдем координаты этих векторов, для этого из соответствующей координаты конца вектора вычтем координату его начала:
AB=(-12;2;-4), AC=(-4;2:3), AD=(-3;4;-3).
 
Тогда объем параллелепипеда равен значению детерминанта (определителя) матрицы, составленной из координат векторов (строка матрицы – координаты вектора). Определитель третьего порядка находим по правилу треугольников.
 
 
Автор - Дмитрий Айстраханов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Самарский государственный экономический университет
Проведенных занятий:
30
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
792
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
27
Образование:
Саратовский государственный университет
Проведенных занятий:
27
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации