Как определить объем пирамиды

Пирамида (др.-греч. πυραμίς, πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

 

Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.

 

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: \(V={1\over3}S*H\) , где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

 

Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле \(V={1\over3}H(S1+{{\sqrt {S1S2}}}+S2)\), где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

 

Часто даны координаты вершин пирамиды ABCD и требуется найти ее объем. Даная задача может быть решена методами аналитической геометрии. Покажем ее решение на примере.

 

 

Объем пирамиды равен \(1\over6\) объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD. Найдем координаты этих векторов, для этого из соответствующей координаты конца вектора вычтем координату его начала:

AB=(-12;2;-4), AC=(-4;2:3), AD=(-3;4;-3).

 

Тогда объем параллелепипеда равен значению детерминанта (определителя) матрицы, составленной из координат векторов (строка матрицы – координаты вектора). Определитель третьего порядка находим по правилу треугольников.