Иррациональные уравнения: примеры с решениями

Наш преподаватель и постоянный автор Дмитрий Айстраханов рассматривает очень важную тему, в которой, по статистике, многие школьники делают ошибки. Вооружайтесь знаниями с экспертами Альфа-школы!
 

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Как решать иррациональные уравнения?

Для того чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо перенести выражение, содержащее корень, в одну сторону (уединить его), возводить в соответствующую степень обе части уравнения и упростить полученное выражение. Повторять процедуру до тех пор, пока не исчезнут все корни или решение не станет очевидным. Далее необходимо решить полученное рациональное уравнение.

А именно - убедиться, что в рациональном уравнении нет корней, т.е. действительно имеем дело с рациональным уравнением, определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, решить полученное целое уравнение. Сделать проверку полученного решения подстановкой полученных корней в исходное уравнение, т.е. исключить те корни, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Введение новой переменной.

2. Исследование области допустимых значений (ОДЗ).

3. Умножение обоих частей уравнения на сопряженный множитель.

4. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

5. Выделение полного квадрата.

6. Использование свойств монотонности функций.

7. Функционально-графический метод.

8. Метод равносильных преобразований.

9. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

 

Иррациональные уравнения широко представлены в ЕГЭ.

 

Так, например, решим уравнение

x-1=(х2-4х+9)1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим x2-2x+1=x2-4x+9. Решим его, получим х=4. Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.

 

Удачи вам в подготовке к экзаменам!

 

Автор: Дмитрий Айстраханов

 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
117
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 классов и информатике 9 класса. Имею опыт работы подготовки к ОГЭ по математике и информатике. Важным в своей работе считаю изучение и учет личностных особенностей ребенка, независимо от его успеваемости. Люблю математику за то, что она придает мыслям логичность, ясность и точность, развивает критичность мышления, интуицию, тренирует силу воли и учит преодолевать трудности.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Проведенных занятий:
1718
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Для меня математика - язык общения с миром. Всегда важно понимать, что стоит за той или иной цифрой, формулой, уравнением, понимать, какой смысл в себе они несут. Этому языку я обучаю своих учеников, помогаю полюбить его и научить умело применять в жизни. В преподавании основываюсь на том, чтобы закладывать основательные знания. Если фундамент прочный, то дальнейшее обучение всегда просто. Если есть трудности, то помогу найти и восполнить пробел. В каждом ученике я вижу личность и учитываю его индивидуальные особенности. В обучении использую идеи Льва Толстого. Преподаю с Любовью. Жду вас на своих уроках.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Южно-Уральский Государственный Гуманитарно Педагогичесий Университет
Проведенных занятий:
47
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 8-11 классы. Веду подготовку к ОГЭ/ЕГЭ/ВПР Математика-царица точных наук, следовательно, она помогает в жизни выстраивать точные последовательности действий, организует, а также всегда может пригодится в быту. Работаю по принципу "пирамиды": от простого к сложному. Всегда ищу индивидуальный подход к каждому ученику, разрабатываю индивидуальные планы осваивания материала. Люблю работать как с сильными, так и слабыми учениками. Нравится разбираться в задачах вместе с учеником, наводящими вопросами выстраивать логическую цепочку решений.