Иррациональные уравнения: примеры с решениями

Наш преподаватель и постоянный автор Дмитрий Айстраханов рассматривает очень важную тему, в которой, по статистике, многие школьники делают ошибки. Вооружайтесь знаниями с экспертами Альфа-школы!
 

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Как решать иррациональные уравнения?

Для того чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо перенести выражение, содержащее корень, в одну сторону (уединить его), возводить в соответствующую степень обе части уравнения и упростить полученное выражение. Повторять процедуру до тех пор, пока не исчезнут все корни или решение не станет очевидным. Далее необходимо решить полученное рациональное уравнение.

А именно - убедиться, что в рациональном уравнении нет корней, т.е. действительно имеем дело с рациональным уравнением, определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, решить полученное целое уравнение. Сделать проверку полученного решения подстановкой полученных корней в исходное уравнение, т.е. исключить те корни, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Введение новой переменной.

2. Исследование области допустимых значений (ОДЗ).

3. Умножение обоих частей уравнения на сопряженный множитель.

4. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

5. Выделение полного квадрата.

6. Использование свойств монотонности функций.

7. Функционально-графический метод.

8. Метод равносильных преобразований.

9. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

 

Иррациональные уравнения широко представлены в ЕГЭ.

 

Так, например, решим уравнение

x-1=(х2-4х+9)1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим x2-2x+1=x2-4x+9. Решим его, получим х=4. Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.

 

Удачи вам в подготовке к экзаменам!

 

Автор: Дмитрий Айстраханов

 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
372
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое. Буду рада видеть на своих уроках!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Запорожский национальный университет
Проведенных занятий:
675
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-10 классов. Помогаю школьникам в закреплении и углублении школьной программы, в подготовке к экзаменам. Подбираю подход к каждому ученику, учитывая его интересы, жизненные взгляды. Стремлюсь к тому, чтобы каждый ученик, независимо от возраста и уровня знаний, понял и полюбил математику.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Московский государственный областной университет
Проведенных занятий:
260
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 3-9 классов. Цифры нас окружают всегда — хочу научить любить и понимать этот важный аспект нашей жизни. Уверена, что любой предмет можно подать интересно, могу привить интерес к математике и научить основам и деталям. С каждым учеником стараюсь найти общий язык, учитывать сильные и слабые стороны. Всегда отвечаю на вопросы, веду диалог, объясняю непонятные моменты. Разбираемся вместе с учеником в задачах, которые вызывают трудности. Буду рада видеть на своих занятиях!

Математика 11 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие