Иррациональные уравнения: примеры с решениями

Наш преподаватель и постоянный автор Дмитрий Айстраханов рассматривает очень важную тему, в которой, по статистике, многие школьники делают ошибки. Вооружайтесь знаниями с экспертами Альфа-школы!
 

Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Как решать иррациональные уравнения?

Для того чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо перенести выражение, содержащее корень, в одну сторону (уединить его), возводить в соответствующую степень обе части уравнения и упростить полученное выражение. Повторять процедуру до тех пор, пока не исчезнут все корни или решение не станет очевидным. Далее необходимо решить полученное рациональное уравнение.

А именно - убедиться, что в рациональном уравнении нет корней, т.е. действительно имеем дело с рациональным уравнением, определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей, решить полученное целое уравнение. Сделать проверку полученного решения подстановкой полученных корней в исходное уравнение, т.е. исключить те корни, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Введение новой переменной.

2. Исследование области допустимых значений (ОДЗ).

3. Умножение обоих частей уравнения на сопряженный множитель.

4. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

5. Выделение полного квадрата.

6. Использование свойств монотонности функций.

7. Функционально-графический метод.

8. Метод равносильных преобразований.

9. Метод возведения обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

 

Иррациональные уравнения широко представлены в ЕГЭ.

 

Так, например, решим уравнение

x-1=(х2-4х+9)1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим x2-2x+1=x2-4x+9. Решим его, получим х=4. Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.

 

Удачи вам в подготовке к экзаменам!

 

Автор: Дмитрий Айстраханов

 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
42
Образование:
Казанский инженерно- строительный институт
Проведенных занятий:
6
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 6-9 классов. Готовлю к ОГЭ. Очень интересно и доступно помогу разобраться в изучаемой теме, выполнить домашнюю работу! Математика, это пожалуй одна из самых интересных и захватывающих дисциплин. И если ты полюбишь её и сумеешь понимать, тебе доступны очень многие дисциплины! Мы вместе будем проходить с тобой этот путь и верю, что тебе всё по силам! Наши уроки будут очень полезными, потому что мы сумеем разобраться в сложных темах, научимся решать задачи и полюбим математику.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
Проведенных занятий:
8
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку 2-9 классов, готовлю к ОГЭ. Магистр филологических наук. Объясняю понятным языком, чтобы ребёнок усвоил правило. Мой ученик набрал за ОГЭ 100 баллов. Если Вашему ребёнку требуется улучшить русский язык, или подготовиться к экзамену, готов Вам помочь.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
15
Образование:
Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины
Проведенных занятий:
127
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по обществознанию для 4-11 классов. Победитель, призёр и лауреат конкурсов педагогического мастерства (в т.ч. МГУ и МПГУ). Магистр права. На наших занятиях всегда интересно! По каждому вопросу привожу примеры и аналогии, что визуализирует материал, упрощает его понимание, прививает интерес к предмету и в итоге даёт положительный результат. Вместе у нас всё получится!

Курсы по математике для школьников (7 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Логарифмы (урок)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Векторы

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие