Решение дробно-рациональных уравнений

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили мимо ушей то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Для начала давайте разберемся, что же это такое – дробно-рациональные уравнения?  В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональным уравнением, называется уравнение вида \(fxg(x)=0\).
И конечно, это определение, ни о чем вам не говорит. Тогда я привожу примеры, а вы постарайтесь выявить закономерность, найти что-то общее.
\({{-2x-4}\over {x^2-4}}={{x+5}\over {x-2}}\)         \({{3x^2-6}\over 2(x+1)} =x-1\)    \({x\over x-2 } + {8\over{4-x^2}} - {1\over x+2}=0\)
 

А эти уравнения не являются дробно-рациональными:

\(3x^2+x-25=0 \)               \({{2-x}\over {2}}+{{3x\over 5}}=4\)              \({{2x-1}\over 2}+{5x\over6}-{1-x\over 3}=3x-2\)
 

Два последних уравнения точно не относятся к дробно-рациональным, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое важное, что в знаменателе нет переменной (буквы). А вот в дробно-рациональном уравнении в знаменателе всегда есть переменная.            

Итак, после того, как вы верно определили, какое именно епред вами уранвение, начнем его решать. Первое, что нужно сделать, обозначается тремя большими буквами, О.Д.З. Что же означают эти буквы? Область Допустимых Значений. Что это означает в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторить тему «Алгебраические дроби». А вот для нашей цели это означает следующее: мы берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и отмечаем, что они не равны нулю.

Если для примера использовать наши уравнения \({{-2x-4}\over x^2-4}={x+5\over x-2}\)  , делаем так:      
ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)              
                                                            \( x-2≠0 \)               
\({3x^2-6\over 2(x+1)} =x-1 \)
ОДЗ: \(x+1≠0\)

Почему не указали множитель 2? Так ясно же, что 2≠0

\({x\over x-2}+{8\over 4-x^2}-{1\over x+2}=0\)
ОДЗ: \(x-2≠0\)
      \(4-x^2≠0\)
       \(x+2≠0\)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если вы можете, то решите эти уравнения со знаком , а если не можешь, пока оставьте так, как есть. И идем дальше.

Дальше все дроби, входящие в уравнения, нужно представить в виде одной дроби. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. И в конце выписать то, что получилось, в числителе и приравнять это выражение к нулю. А потом решить уравнение.

Вернемся к нашим примерам: \({-2x-4\over x^2-4}={x+5 \over x-2} \) ОДЗ: \(x^2-4≠0\)
                                                   \({-2x-4\over x^2-4}-{x+5 \over x-2}=0 \)                          \(x-2≠0 \)
Перенесли дробь влево, при  этом поменяли знак. Замечаем, что знаменатель \(x^2-4 \)  можно разложить на множители, с помощью формулы сокращенного умножения \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), а в числителе можно вынести общий множитель «-2» за скобку.
\({-2(x+2)\over (x+2)(x-2)} -{x+5\over x-2}=0\)

Еще раз смотрим на ОДЗ, есть он у нас? Есть! Тогда можно сократить первую дробь на x+2.  Если ОДЗ нет, сокращать нельзя!  Получаем:

\({-2\over x-2}-{x+5 \over x-2}=0\)

Дроби имеют общий знаменатель, значит, их можно отнять:

\({-2-x-5\over x-2}=0\)

Обращаем внимание, так как дроби отнимаем, знак «+» во второй дроби меняем на минус! Приводим в числителе подобные слагаемые:

\({-x-7 \over x-2}=0\)

Вспомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Пора указать, что числитель равен нулю:

\(-x-7=0\)

Это линейное уравнение, переносим «-7» вправо, меняем знак:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Вспоминаем про ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)           \(x-2≠0\).  Если вы смогли решить, то решили так:   \(x^2≠4 \)              \(x≠2\)
                                  \(x_1≠2 \) \(x_2≠-2\)

А если решить не смогли, то подставляем в ОДЗ вместо «x» то, что получилось. У нас \(x=-7\)

Тогда: \((-7)^2-4≠0\)? Выполняется? Выполняется!  
Работаем дальше: \(-7-2≠0\)? Выполняется? Выполняется!
Значит, ответ нашего уравнения: \(x=-7\)
Рассмотрим следующее уравнение: \({3x^2-6\over 2(x+1)}={x-1}\)

Решаем тем же способом. Сначала указываем ОДЗ: \(x+1≠0\)

Затем переносим x-1 влево, сразу этому выражению приписываем знаменатель 1, это можно сделать, так как знаменатель 1 ни на что не влияет.

Получаем:   \({3x^2-6\over 2(x+1)} -{x-1\over1}=0\)
Ищем общий знаменатель, это \(2(x+1)\). Вторую дробь домножаем на это выражение.
Получили:  \({3x^2-6\over2(x+1)} -{(x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)} =0\)      
           \({ 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)} =0 \)
Если сложно, поясню: \(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \)   А так как перед второй дробью стоит знак «-», то, объединяя эти дроби в одну, мы знаки меняем на противоположные.
Дальше приводим в числителе подобные слагаемые:   \({x^2-4\over2(x+1)} =0\)
Замечаем, что \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) и переписываем так: \({(x-2)(x+2)\over2(x+1)} =0\)
Дальше используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, укажем, что числитель равен нулю. \((x-2)(x+2)=0\).   И решим это уравнение. Оно состоит из двух множителей x-2 иx+2. Помним, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Значит: x+2=0 или   x-2=0

Из первого уравнения получаем x=-2 , из второго x=2  . Переносим число, и знак меняем.

На последнем этапе проверяем ОДЗ: x+1≠0

Подставляем вместо x числа 2 и -2.

Получаем 2+1≠0. Выполняется? Да! Значит x=2 - наш корень. Проверяем следующий: -2+1≠0.   Выполняется. Да. Значит и x=-2, тоже наш корень. Итак, ответ: 2 и -2.

Последнее уравнение решим без пояснений. Алгоритм тот же:

1. ОДЗ

2. Общий знаменатель.

3. Числитель приравниваем к нулю.

4. Решаем получившееся уравнение.

5. Проверяем ОДЗ на выполнение.

Попробуйте решить самостоятельно, решение сверьте с образцом:

\({{x\over x-2}+{8\over 4-x^2}-{1\over x+2}}=0 \)   
ОДЗ: \( x-2≠0\)
\(4-x^2≠0\)
\(x+2≠0\)                                  
\({x\over x-2}+{8\over (2-x)(2+x)} -{1\over x+2}=0 \)
\({x\over x-2}-{8\over(x-2)(2+x)} -{1\over x+2}=0\)            
\({x⋅(x+2)\over x-2}-{8\over(x-2)(x+2)}-{1⋅(x-2)\over x+2}=0\)     
\({x⋅(x+2)-8-1⋅(x-2)}\over{(x-2)(x+2)} =0\)            
\({x^2+2x-8-x+2}\over{(x-2)(x+2)} =0\)         
\({x^2+x-6}\over{(x-2)(x+2)} =0\)
\(x^2+x-6=0\)
\(D=b^2-4ac=1-4⋅1⋅(-6)=1+24=25=5^2\)
\(x_1=-{{b+√D}\over2a}={-1+5\over2}=2\)
\(x_2=-{b-√D\over2a}={-1-5\over2}=-3\)

ОДЗ: 2-2≠0.    Не выполняется, значит x=2 не наш корень.

\(-3-2≠0 \) Выполняется!

\(4-(-3)^2≠0\) Выполняется!

\(-3+2≠0 \) Выполняется! Следовательно, x=-3 решение нашего уравнения.

Уверена, что ваше решение сошлось с образцом.

Напоследок хочу сказать, что мы рассмотрели только один способ решения дробно-рациональных уравнений. Надеюсь, что этот способ не показался вам сложным. Успехов в учебе!

 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
66
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Национальный исследовательский ядерный университет
Проведенных занятий:
174
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
Южный федеральный университет
Проведенных занятий:
640
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации