Первообразная
Повторим, что такое функция:
функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества Х, определено единственное значение зависимой переменной (у) из множества Y.
Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Если вы не знаете, то почитайте здесь, что такое производная. Первообразная для функции \( F (x) = 2x\) есть функция \(f ( х ) = x^2\):

Первообразная для функции \( F (x) = 3x^2\) есть функция \(f ( х ) = x^3\) для любого х ∈ R. Первообразная для функции \(f(x) = 2х\) есть функция \(F(x) = x^2\) для любого \(х ∈ R\). Функция \(f ( х ) = x^3\) является первообразной для функции \( F (x) = 3x^2\). Функции \(f ( х ) = x^3+5\) и \(f ( х ) = x^3+3\) также является первообразными для функции \( F (x) = 3x^2\). \(3\) и \(5-\) это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится. Семейством первообразных функции \( F (x) = 3x^2\) являются функции \(f ( х ) = x^3+C\), где \(C\) является константой.
Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(X\), если для каждого \(х ∈ Х\) выполняется \(F′(x) = f( x )\).
Выделим это определение:

Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную \(y = x^2:\)

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.
Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной \(x\) , то есть производная функции \(y = х^2\) равна \( у=2х.\)
Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)
Площадь треугольника равна площади \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:
\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)
\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)
\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)
Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.
Функция может иметь несколько первообразных.
\(F(x)+C;\)
Докажем что функция может иметь несколько первообразных:
\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)
\((F(x)+C) ′ =f(x).\)
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
21
Образование:
Рязанский государственный педагогический университет имени С. А. Есенина
Проведенных занятий:
869
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Проведенных занятий:
173
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Репетитор по геометрии
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
Похожие статьи
- Методы решения систем уравнений с двумя переменными
- Формулы по алгебре
- Формулы окружности
- Как перевести квадратные метры в квадратные километры
- Как перевести килограммы в тонны?
- РУДН: факультет Государственного и Муниципального Управления (ГМУ)
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Иррациональные неравенства
- Умные по-разному: 8 видов интеллекта, о которых должен знать каждый родитель
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так