Первообразная

Повторим, что такое функция:
функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества Х, определено единственное значение зависимой переменной (у) из множества Y.
 
Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Если вы не знаете, то почитайте здесь, что такое производная.  Первообразная для функции \( F (x) = 2x\) есть функция \(f ( х ) = ​​x^2\):
Первообразная
Первообразная для функции \( F (x) = 3x^2\) есть функция \(f ( х ) = ​​x^3\) для любого х ∈  R. Первообразная для функции \(f(x) = 2х\) есть функция \(F(x) = x^2\) для любого \(х ∈ R\). Функция \(f ( х ) = ​​x^3\) является первообразной для функции   \( F (x) = 3x^2\). Функции  \(f ( х ) = x^3+5\)  и \(f ( х ) = x^3+3\)  также является первообразными для функции \( F (x) = 3x^2\)\(3\) и \(5-\) это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.   Семейством первообразных функции ​​ \( F (x) = 3x^2\) являются функции \(f ( х ) = ​​x^3+C\), где \(C\)  является константой.
Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(X\), если для каждого \(х ∈ Х\) выполняется \(F′(x) = f( x )\).
Выделим это определение:
Определение первообразной

 
Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную \(y = x^2:\)   
График первообразной

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.
Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной \(x\) , то есть производная функции \(y = х^2\)  равна \( у=2х.\)
Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):
Площадь первообразной
Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)
Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:
\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)
\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)
\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)
Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.
Функция может иметь несколько первообразных. 
\(F(x)+C;\)
Докажем что функция может иметь несколько первообразных:
\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)
\((F(x)+C) ′ =f(x).\)
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
МФТИ
Проведенных занятий:
2897
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
32
Образование:
Ставропольский ордена Дружбы народов государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
121
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
172
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации