Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок

Первообразная
#Математика
#Подготовка к ЕГЭ
#ЕГЭ по математике
#ОГЭ по математике
#Подготовка к ОГЭ
Обновлено: 06 апр 2024
Первообразная
Первообразная играет важную роль в математике и находит применение в различных областях, включая физику и экономику. Она помогает нам решать задачи, связанные с вычислением площадей, нахождением средних значений, решением дифференциальных уравнений и многим другим.
Что такое первообразная
Перед тем как выяснять, что такое первообразная функции, повторим, что такое функция:
Функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества Х, определено единственное значение зависимой переменной (у) из множества Y.
Теперь определение первообразной:
Первообразная — это функция, которую мы дифференцируем, чтобы получить исходную функцию.
Как найти первообразную
Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Первообразная для функции \( F (x) = 2x\) — это функция \(f ( х ) = x^2\):

Первообразная для функции \( F (x) = 3x^2\) есть функция \(f ( х ) = x^3\) для любого х ∈ R.
Первообразная для функции \(f(x) = 2х\) есть функция \(F(x) = x^2\) для любого \(х ∈ R\). Функция \(f ( х ) = x^3\) является первообразной для функции \( F (x) = 3x^2\).
Функции \(f ( х ) = x^3+5\) и \(f ( х ) = x^3+3\) также является первообразными для функции \( F (x) = 3x^2\). \(3\) и \(5\) — это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.
Семейством первообразных функции \( F (x) = 3x^2\) являются функции \(f ( х ) = x^3+C\), где \(C\) является константой.
Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(X\), если для каждого \(х ∈ Х\) выполняется \(F′(x) = f( x )\).
Выделим это определение:

Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную \(y = x^2:\)

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.
Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной \(x\) , то есть производная функции \(y = х^2\) равна \( у=2х.\)
Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):

Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)
Площадь треугольника равна площади \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:
\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)
\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)
\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)
Можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.
Функция может иметь несколько первообразных.
\(F(x)+C;\)
Докажем что функция может иметь несколько первообразных:
\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)
\((F(x)+C) ′ =f(x).\)
Часто задаваемые вопросы
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
