Первообразная

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Что такое первообразная
Как найти первообразную

Первообразная играет важную роль в математике и находит применение в различных областях, включая физику и экономику. Она помогает нам решать задачи, связанные с вычислением площадей, нахождением средних значений, решением дифференциальных уравнений и многим другим.

Что такое первообразная

Перед тем как выяснять, что такое первообразная функции, повторим, что такое функция:

Функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества $Х$ (у) из множества Y.

Теперь определение первообразной:

Первообразная — это функция, которую мы дифференцируем, чтобы получить исходную функцию.

Как найти первообразную

Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Первообразная для функции $ F (x) = 2x$ — это функция $f ( х ) = x^2$:

Первообразная для функции $ F (x) = 3x^2$ есть функция $f ( х ) = x^3$ для любого х ∈ R.

Первообразная для функции $f(x) = 2х$ есть функция $F(x) = x^2$ для любого $х ∈ R$. Функция $f ( х ) = x^3$ является первообразной для функции $ F (x) = 3x^2$.

Функции $f ( х ) = x^3+5$ и $f ( х ) = x^3+3$ также является первообразными для функции $ F (x) = 3x^2$. $3$ и $5$ — это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.

Семейством первообразных функции $ F (x) = 3x^2$ являются функции $f ( х ) = x^3+C$, где $C$ является константой.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $X$, если для каждого $х ∈ Х$ выполняется $F′(x) = f( x )$.

Выделим это определение: