Первообразная

Повторим, что такое функция:

функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества $Х$ (у) из множества Y.

Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Если вы не знаете, то почитайте здесь, что такое производная. Первообразная для функции $ F (x) = 2x$ есть функция $f ( х ) = x^2$:

Первообразная для функции $ F (x) = 3x^2$ есть функция $f ( х ) = x^3$ для любого х ∈ R. Первообразная для функции $f(x) = 2х$ есть функция $F(x) = x^2$ для любого $х ∈ R$. Функция $f ( х ) = x^3$ является первообразной для функции $ F (x) = 3x^2$. Функции $f ( х ) = x^3+5$ и $f ( х ) = x^3+3$ также является первообразными для функции $ F (x) = 3x^2$. $3$ и $5-$ это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится. Семейством первообразных функции $ F (x) = 3x^2$ являются функции $f ( х ) = x^3+C$, где $C$ является константой.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $X$, если для каждого $х ∈ Х$ выполняется $F′(x) = f( x )$.

Выделим это определение:

Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную $y = x^2:$

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.

Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной $x$ , то есть производная функции $y = х^2$ равна $ у=2х.$

Теперь рассмотрим функцию $y = 2x $:

Рассмотрим площади треугольников под графиком $y = 2x.$

Площадь треугольника равна площади $\frac{1}{2}$ основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

$S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$

$S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

$S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9$

Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

Функция может иметь несколько первообразных.

$F(x)+C;$

Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

$(F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).$

$(F(x)+C) ′ =f(x).$

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Татьяна Васильевна Коняева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Соликамский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

141

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Обучаю учащихся гимназии математике (5, 6 классы), алгебре и геометрии (7, 8 классы) в настоящее время. Дистанционные занятия проходят с использованием интерактивной доски. Доброжелательно и терпеливо отношусь к каждому ученику, верю в его успех, помогаю ребёнку поверить в свои силы. Хорошо нахожу общий язык с детьми. Объясняю просто и понятно. Однако успех не приходит сам, без усердия и трудолюбия со стороны ученика, без выполнения домашних заданий.

Вероника Сергеевна Пигасова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

БГУ

Проведенных занятий:

1312

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Люблю математику, так как главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

Марина Анатольевна Паршакова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 1-9 классов. Подготовка к ВПР, ОГЭ. Математика - царица наук. Каждый человек индивидуальный и, конечно же, подход в объяснении предмета к каждому свой. Методик много, я предпочитаю от общего к частному. Мне нравится объяснять, отрабатывать, и тем самым формировать навыки так, чтобы ученик чувствовал уверенность в своих знаниях.