Первообразная

Повторим, что такое функция:

функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества $Х$ (у) из множества Y.

Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Если вы не знаете, то почитайте здесь, что такое производная. Первообразная для функции $ F (x) = 2x$ есть функция $f ( х ) = x^2$:

Первообразная для функции $ F (x) = 3x^2$ есть функция $f ( х ) = x^3$ для любого х ∈ R. Первообразная для функции $f(x) = 2х$ есть функция $F(x) = x^2$ для любого $х ∈ R$. Функция $f ( х ) = x^3$ является первообразной для функции $ F (x) = 3x^2$. Функции $f ( х ) = x^3+5$ и $f ( х ) = x^3+3$ также является первообразными для функции $ F (x) = 3x^2$. $3$ и $5-$ это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится. Семейством первообразных функции $ F (x) = 3x^2$ являются функции $f ( х ) = x^3+C$, где $C$ является константой.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $X$, если для каждого $х ∈ Х$ выполняется $F′(x) = f( x )$.

Выделим это определение:

Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную $y = x^2:$

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.

Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной $x$ , то есть производная функции $y = х^2$ равна $ у=2х.$

Теперь рассмотрим функцию $y = 2x $:

Рассмотрим площади треугольников под графиком $y = 2x.$

Площадь треугольника равна площади $\frac{1}{2}$ основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:

$S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$

$S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

$S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9$

Итого, можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.

Функция может иметь несколько первообразных.

$F(x)+C;$

Докажем что функция может иметь несколько первообразных:

$(F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).$

$(F(x)+C) ′ =f(x).$

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Галина Федоровна Захарина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины

Проведенных занятий:

324

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике. Помогу повысить оценку ученикам 5-9 классов. Люблю математику, потому что в ней все подчиняется определенным правилам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. Цель занятий - помочь понять предмет, показать логичность и простоту трудных задач, показать насколько интересна математика.

Елена Германовна Пухова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Астраханский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5- 9 классов. Имею опыт работы подготовки к ОГЭ по математике и информатике. Важным в своей работе считаю изучение и учет личностных особенностей ребенка, независимо от его успеваемости. Люблю математику за то, что она придает мыслям логичность, ясность и точность, развивает критичность мышления, интуицию, тренирует силу воли и учит преодолевать трудности.

Наталия Георгиевна Трибушная

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Запорожский государственный университет

Проведенных занятий:

159

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку 1-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Мне очень нравится преподавать русский язык. Используя возможности этого предмета, стараюсь не только обучать грамотности, но и расширять кругозор учащихся, их представления о русской культуре и истории. На занятиях сочетаю современные педагогические технологии (например, коммуникационные, проблемно-поисковые) с классическими методами обучения. Всегда использую индивидуальный подход, стремлюсь видеть и уважать личность в каждом ученике. И главное - я всегда верю в ученика, в его силы и способности.

Курс "Обыкновенные дроби" (5 класс)

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок

Математика 10 класс

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок

Репетитор по математике (5 класс)

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок