img

Первообразная

21 июн 2024

Первообразная

Первообразная играет важную роль в математике и находит применение в различных областях, включая физику и экономику. Она помогает нам решать задачи, связанные с вычислением площадей, нахождением средних значений, решением дифференциальных уравнений и многим другим.

Что такое первообразная

 
Перед тем как выяснять, что такое первообразная функции, повторим, что такое функция:
 
Функция – это зависимость одной переменной (у) от другой(х), когда для каждого значения независимой переменной (х) из множества Х, определено единственное значение зависимой переменной (у) из множества Y.
 
Теперь определение первообразной:
 
Первообразная — это функция, которую мы дифференцируем, чтобы получить исходную функцию.
 

Как найти первообразную

Операция нахождения первообразной – это обратная операции нахождения производной. Первообразная для функции \( F (x) = 2x\) — это функция \(f ( х ) = ​​x^2\):
Первообразная
Первообразная для функции \( F (x) = 3x^2\) есть функция \(f ( х ) = ​​x^3\) для любого х ∈  R. 
 
Первообразная для функции \(f(x) = 2х\) есть функция \(F(x) = x^2\) для любого \(х ∈ R\). Функция \(f ( х ) = ​​x^3\) является первообразной для функции   \( F (x) = 3x^2\).
 
Функции  \(f ( х ) = x^3+5\)  и \(f ( х ) = x^3+3\)  также является первообразными для функции \( F (x) = 3x^2\)\(3\) и \(5\) — это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.
 
Семейством первообразных функции ​​ \( F (x) = 3x^2\) являются функции \(f ( х ) = ​​x^3+C\), где \(C\)  является константой.
 
Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на некотором промежутке \(X\), если для каждого \(х ∈ Х\) выполняется \(F′(x) = f( x )\).
Выделим это определение:
Определение первообразной

 
Термин “первообразная” означает площадь, ограниченную кривой функций. Изобразим графически производную \(y = x^2:\)   
График первообразной

Касательные линии нарисованы пунктирными линиями в трех различных точках.
 
Заметим, что уклон в два раза больше значения переменной \(x\) , то есть производная функции \(y = х^2\)  равна \( у=2х.\)
 
Теперь рассмотрим функцию \(y = 2x \):
Площадь первообразной
Рассмотрим площади треугольников под графиком \(y = 2x.\)
Площадь треугольника равна площади  \(\frac{1}{2}\) основания на высоту. Таким образом, ясно, что области под графиком:
\(S_{1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\)
\(S_{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\)
\(S_{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6= 9\)
 
Можно сказать, что первообразная эквивалентна площади под функцией.
 
Функция может иметь несколько первообразных. 
 
\(F(x)+C;\)
 
Докажем что функция может иметь несколько первообразных:
 
\((F(x)+C) ′ =F ′ (x)+(C) ′ =f(x)+0=f(x).\)
\((F(x)+C) ′ =f(x).\)
 

Часто задаваемые вопросы:

Первообразная функции - это функция, производная которой равна исходной функции. Математически записывается как ∫ f(x) dx = F(x) + C, где F(x) - первообразная функции f(x), dx - символ дифференциала, а C - произвольная постоянная.

Первообразная функция играет важную роль в теории интегралов. Она позволяет нам вычислять определенные интегралы, находить площади под кривыми, находить средние значения функций, решать дифференциальные уравнения и многое другое.

Нахождение первообразной функции называется интегрированием. Существует набор правил и методов для интегрирования различных функций. Некоторые из них включают применение формул интегрирования, методы замены переменной и интегрирование по частям. Выбор правильного метода зависит от конкретной функции, которую нужно проинтегрировать.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи