img

Геометрическая прогрессия

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Для начала разберемся, что такое геометрическая прогрессия (ГП).
 
Геометрическая прогрессия – это бесконечная последовательность чисел, записанная в виде: b1, b2, ..., bn, …, где b1 - первый член, b2 - второй член, bn -  «энный» член прогрессии.
 
Каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число «q».
Число «q» называется знаменателем прогрессии. 
 
Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
 
bn =  b1  q n - 1 
 
Сумма «n» первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:
 
Интерес также представляет «бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» — это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: это число «к», которому неограниченно приближается сумма  «n» первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  «n». 
 
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
 
 

Пример геометрической прогрессии

Приведем примеры задач, где необходимо использовать эти формулы.
 
Пример 1
Найти девятый член (b(9)) заданной последовательности чисел: 1, 3, 9, 27, …
Решение
Данная последовательность чисел является геометрической, так как при делении каждого её члена на предыдущий получается одно и то же число «3»:
 
3 : 1 = 3
9 : 3 = 3
27 : 9 = 3
 
Следовательно, знаменателем рассматриваемой последовательности является число q = 3.
Применим формулу для нахождения суммы  «n»  первых членов геометрической прогрессии и найдем b(9):
 
bn =  b1  q n - 1 
 
b9 =  1 х  3 9 - 1 =  1 х 3 8 = 1 х 6561 = 6561
 
Пример 2
Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение
 
Применим формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В нашем примере  b1 = 1,  q = 1/2.
Тогда:
 

Часто задаваемые вопросы:

Если знаменатель (r) больше 1, то ГП является возрастающей. Если 0 < |r| < 1, то ГП убывающая.

Среднее геометрическое членов ГП находится как корень из произведения двух соседних членов: √(aₙ₋₁ * aₙ).

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
11
Образование:
Мелитопольский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
1041
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
32
Образование:
Пятигорский государственный институт иностранных языков
Проведенных занятий:
606
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева
Проведенных занятий:
125
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)