Геометрическая прогрессия

Теория вопроса

 

Геометрическая прогрессия – это бесконечная последовательность чисел, записанная в виде: b1, b2, ..., bn, …, где b1 - первый член, b2 - второй член, bn -  «энный» член прогрессии.

 

Каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число «q» ,

Число «q» называется знаменателем прогрессии. 

 

Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

 

 

Сумма  «n»  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

 

Интерес также представляет «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия». Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: это число «к», которому неограниченно приближается сумма  «n» первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  «n». 

 

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

 

 

Приведем примеры задач, где необходимо использовать эти формулы.

 

Данная последовательность чисел является геометрической, так как при делении каждого её члена на предыдущий получается одно и то же число «3»:

 

3 : 1 = 3

9 : 3 = 3

27 : 9 = 3

 

Следовательно, знаменателем рассматриваемой последовательности является число q = 3.

Применим формулу для нахождения суммы  «n»  первых членов геометрической прогрессии и найдем b(9):

 

b_n =  b₁  q ^n - 1 

 

b₉ =  1 х  3 ^9 - 1 =  1 х 3 ⁸ = 1 х 6561 = 6561

 

 

Применим формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В нашем примере  b₁ = 1,  q = 1/2.

Тогда:

 

Как видите, без знания формул найти требуемые элементы геометрической последовательности не представляется возможным.