Геометрическая прогрессия

Теория вопроса
 
Геометрическая прогрессия – это бесконечная последовательность чисел, записанная в виде: b1, b2, ..., bn, …, где b1 - первый член, b2 - второй член, bn -  «энный» член прогрессии.
 
Каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число «q» ,
Число «q» называется знаменателем прогрессии. 
 
Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
 
bn =  b1  q n - 1 .
 
Сумма  «n»  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:
 
Интерес также представляет «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия». Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно: это число «к», которому неограниченно приближается сумма  «n» первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  «n». 
 
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
 
 
Приведем примеры задач, где необходимо использовать эти формулы.
 
Пример 1
Найти девятый член (b(9)) заданной последовательности чисел: 1, 3, 9, 27, …
Решение
Данная последовательность чисел является геометрической, так как при делении каждого её члена на предыдущий получается одно и то же число «3»:
 
3 : 1 = 3
9 : 3 = 3
27 : 9 = 3
 
Следовательно, знаменателем рассматриваемой последовательности является число q = 3.
Применим формулу для нахождения суммы  «n»  первых членов геометрической прогрессии и найдем b(9):
 
bn =  b1  q n - 1 
 
b9 =  1 х  3 9 - 1 =  1 х 3 8 = 1 х 6561 = 6561
 
Пример 2
Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение
 
Применим формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В нашем примере  b1 = 1,  q = 1/2.
Тогда:
 
Как видите, без знания формул найти требуемые элементы геометрической последовательности не представляется возможным.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии 7-11 классы. Химия - наука очень систематизированная, но в тоже время очень творческая и интересная различными фактами из разных областей жизни.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
БГПУ им.М.Танка
Проведенных занятий:
8062
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов. Люблю математику за её красоту и элегантность. "Математика - это музыка в цифрах." При обучении всегда провожу параллели с примерами из жизни.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
11
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
344
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Люблю математику, потому что она логична и красива, она приносит удовольствие и развивает ум, ее нельзя переписать, например, как историю. Хочу, чтобы дети не боялись ее и полюбили, как я. Когда у ребенка начинает получаться, он становится счастливее. Сделать счастливее ваших детей - это моя главная задача!