ЕГЭ по математике, профильный уровень. Задачи по планиметрии
Это задание №16 в ЕГЭ
Условие:
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В - перпендикулярна АМ, и пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополамб) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Решение
а) В планиметрических задачах важно сделать грамотный и понятный чертеж. Именно чертеж позволяет представить условие задачи графически и увидеть возможное решение визуально. На Рис. 1 изображен треугольник АВС и сделаны дополнительные построения, необходимые для решения этой задачи.
Введем дополнительные обозначения. Обозначим точкой K пересечение отрезков AM и BN. Треугольник ABN будет равнобедренный, так как в нем AK является не только биссектрисой, но и высотой (по условию задачи, угол АВК - прямой). Итак, АВ = АN. По свойству равнобедренных треугольников, AK является и медианой, то есть K — середина BN.
Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 9 – 6 = 3.
Теперь еще раз рассмотрим треугольник ABC. Известно свойство, по которому биссектриса АМ делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
BM : MC = AB : AC
Зная, что АВ = 6; ВС = 5; АС = 9 , решив пропорцию, получаем:
BM = 2; MC = 3.
Рассмотрим треугольник MNC. В треугольнике MNC мы нашли, что стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Отсюда получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам. Что и требовалось доказать.
б) Чтобы найти отношение АР : РN, рассмотрим треугольник PMN. Отрезок PO принадлежит прямой CP. Это значит, что он перпендикулярен отрезку MN и делит его пополам. Отсюда следует, что треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
В треугольнике AMC CP — биссектриса, поэтому отношение AP : PM = AC : MC = 3 : 1
Ответ: 3 : 1
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
16
Образование:
Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина
Проведенных занятий:
189
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-5 классов. Математику невозможно не любить! Она открывает дверь в удивительный мир чисел. Индивидуально подхожу к объяснению материала, выбираю доступные способы обучения, использую приемы соответственно возрасту и интересам ребенка. Добиваюсь полного понимания изучаемого материала. Со мной ребенок полюбит учить математику и будет с удовольствием спешить на мои уроки!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Армавирский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 классы. Подготовка к ВПР/ОГЭ, повышение успеваемости. Я люблю математику за то, что она учит логично мыслить, правильно доказывать сначала теорему, а потом и отстаивать свою точку зрения!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
СпбгуКиТ
Проведенных занятий:
6
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 1-7 классы. Математика очень интересная и важная наука. Все в нашем мире подчиняется законам математики и знания по этому предмету нужны человеку постоянно.
Похожие статьи
- Подобие треугольников
- Средняя линия треугольника
- Как найти делимое?
- Как перевести граммы в миллиграммы?
- Факультет Менеджмента (НИУ ВШЭ)
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Прямоугольный треугольник (вариант 1)
- Задачи с показательными уравнениями и неравенствами
- Задачи на движение по воде