ЕГЭ по математике, профильный уровень. Задачи по планиметрии

Это задание №16 в ЕГЭ
 
Условие:
 
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В - перпендикулярна АМ, и пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Решение
 
 
 
а) В планиметрических задачах важно сделать грамотный и понятный чертеж. Именно чертеж позволяет представить условие задачи графически и увидеть возможное решение визуально. На Рис. 1 изображен треугольник АВС и сделаны дополнительные построения, необходимые для решения этой задачи.
 
Введем дополнительные обозначения. Обозначим точкой K  пересечение отрезков AM и BN. Треугольник ABN будет равнобедренный, так как в нем AK является не только биссектрисой, но и высотой (по условию задачи, угол АВК - прямой). Итак, АВ = АN. По свойству равнобедренных треугольников, AK является и медианой, то есть K — середина BN.
 
Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 9 – 6 = 3.
 
Теперь еще раз рассмотрим треугольник ABC. Известно свойство, по которому биссектриса АМ делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: 
BM : MC = AB : AC
 
Зная, что АВ = 6; ВС = 5; АС = 9 , решив пропорцию, получаем: 
BM = 2; MC = 3.
 
Рассмотрим треугольник MNC. В треугольнике MNC мы нашли, что стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Отсюда получаем, что биссектриса угла С делит  отрезок MN пополам. Что и требовалось доказать.
 
б) Чтобы найти отношение АР : РN, рассмотрим треугольник PMN. Отрезок PO принадлежит прямой CP. Это значит, что он перпендикулярен отрезку MN и делит его пополам. Отсюда следует, что треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.
 
В треугольнике AMC CP — биссектриса, поэтому отношение AP : PM = AC : MC = 3 : 1
 
Ответ: 3 : 1
 
Автор - Андрей Найденов
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет им. М.Танка
Проведенных занятий:
465
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
141
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Ереванский госпединститут русского и иностранных языков им. В.Я.Брюсова
Проведенных занятий:
352
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации