Множество целых чисел

Преподаватель математики Дмитрий Айстраханов объясняет теорию целых чисел.

Математика – фундаментальная наука, как никогда востребованная в 21 веке. Однако развитие ее началось с создания, а затем усовершенствования навыков практического счета.

Натуральные числа как идеализация однородных, устойчивых и неделимых объектов возникли еще в доисторический период. Тогда человек решал простые бытовые задачи: подсчет голов домашнего скота, учет людей, дней и т.п. Сложение стало математической моделью процесса объединения нескольких множеств в одно. Для отделения части множества служило вычитание. Чтобы эта операция  была столь же полноценной, как сложение, был введен ноль и отрицательные числа.

Целыми числами являются натуриальные числа, отрицательные числа и ноль.

Первым шагом к созданию множества целых числе стало использование символа ноль (по-видимому, индийскими математиками) для обозначения цифры при позиционной записи чисел. Позже ноль стал признаваться полноценным числом, которое использовалось при необходимости обозначить полное отсутствие чего-либо или кого-либо.

Первые упоминания об использовании отрицательных чисел восходят к Древнему Китаю II в. до н.э. На заре своего развития отрицательные числа использовались в качестве арифметического эквивалента долга. Примечательно, что в Древней Греции, где, как известно, зародилась западная философия, основанная на принципах рациональности, отрицательные числа не признавались. Древнегреческий математик Диофант Александрийский уже в III в. н.э. знал «правило знаков» и умножал отрицательные числа для получения положительного конечного результата, однако отбрасывал отрицательные корни уравнений как невозможные.

В Европе отрицательные числа были «официально» признаны спустя тысячу лет и очень долгое время носили обидные прозвища – «абсурдные», «ложные», «мнимые». Ученые продолжали проводить корреляцию между отрицательным числом и понятием «долга» или «недостачи».  Сохранились сведения, что даже замечательный математик и философ Блез Паскаль, вычитая из ноля четыре, приходил к решению, равному нолю (потому что «нет ничего меньше, чем само ничто»). «Легализация» отрицательных чисел существенно упростила ряд математических операций: например, стал возможен перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, независимо от знака этого слагаемого.

Как мы уже поняли, отрицательные числа долгое время находились в статусе вспомогательного математического «инструмента». Лишь в XIX веке Уильям Гамильтон (ирландский математик) и Герман Грассман (немецкий физик и математик) создали вполне строгую и полную теорию отрицательных чисел.

Давайте зафиксируем самые важные теоретические положения данной темы. Все целые числа образуют множество целых чисел. Множество целых чисел бесконечно. Нельзя назвать наименьшее целое число, равно как нельзя назвать и наибольшее целое число. Наибольшее отрицательное число равняется «-1»; наименьшее положительное целое число равняется «1».

С целыми числами выполняются арифметические операции сложения, вычитания и умножения. Также целое число можно возвести в степень. Существуют ограничения на операцию деления. Целые числа делятся на другие целые числа с остатком. Множество целых чисел счетно и обозначается буквой Z. Теория чисел – раздел математики, изучающий свойства целых чисел. Действительное число считается целым, если не содержит дробной части. Модулем целого числа или абсолютной величиной называется само число с отброшенным знаком.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Куйбышевский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
367
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Учитель высшей категории. Имею большой опыт преподавания в школе. Активно использую проблемно-поисковый метод обучения. На каждом занятии создаю ситуацию успеха. Объясняю материал доступно и легко. На занятиях мы сможем успешно "подтянуть" материал и подготовиться к контрольным и экзаменам.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
21
Образование:
Таганрогский радиотехнический институт
Проведенных занятий:
172
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 6-11 классов по математике и физике. По авторской методике веду подготовку к ОГЭ и ЕГЭ. Ежегодно обучаю более 30 учеников, которые неоднократно становились лауреатами и призерами муниципальных, областных олимпиад. Многие ученики успешно поступили и учатся в топовых ВУЗах России. Мотивирую учеников через их собственный результат. Рассматриваю обучение, как работу в команде, нацеленной на получение результата.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
29
Образование:
Калужский государственный педагогический институт им. К.Э. Циолковского
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку для 5-11 классов. ОГЭ, ЕГЭ, ВПР. Подготовка учеников 5-11 классов по русскому языку в рамках школьной программы, к ГИА, к конференциям, творческим и исследовательским конкурсам. Только индивидуальный подход и сотрудничество может дать результат. О себе: высшая квалификационная категория; в 2017 г. стала победителем приоритетного национального проекта «Образование» на получение денежного поощрения лучших педагогических работников общеобразовательных организаций; вырастила за последние 5 лет призёров регионального этапа ВОШ по русскому языку и литературе, победителей и призёров научно-практических конференций, всероссийских конкурсов. Лучший балл ЕГЭ по русскому языку - 98. Постоянно совершенствуюсь, проходя курсовую подготовку не только в предметной области, но и в педагогике и психологии. Являюсь тьютором в региональном педагогическом сообществе.