Задачи на исследование функций

Все Родителям Саморазвитие для школьников Подготовка Преподавателям Профориентация Отношения с родителями Советы психолога Здоровье Таймменеджмент Калькуляторы

Часто задаваемые вопросы:

Обновлено: 20 фев 2024

Задачи на исследование функций

Задача №1

Найдите наименьшее значение функции:

у = х³ – 27·х

на отрезке [0;4]

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 3х² – 27 = 3(х² – 9) = 3(х – 3)(х + 3)

Найдем нули производной:

3(х – 3)(х + 3) <=>

0 \(≤\) х \(≤\) 4

х₁ = -3

х₂ = 3

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:

Рис.1

В точке х = 3 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

y=(3) = 27 - 27·3 = - 54

Ответ: −54.

Задача №2

Найдите наибольшее значение функции:

у = х³ – 3·х + 4

на отрезке [-2;0]

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 3х² – 3 = 3(х² – 1) = 3(х – 1)(х + 1)

Найдем нули производной:

3(х – 1)(х + 1) <=>

- 2 \(≤\) х \(≤\) 0

х₁ = -1

х₂ = 1

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:

Рис.2

В точке х = -1 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

у(-1) = -1 + 3 + 4 = 6

Ответ: 6.

Задача №3

Найдите наименьшее значение функции:

у = 9х2 – х3

на отрезке [-1;5]

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 18х – 3х2 = 3х(6 - х)

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:

Рис.1

В точке х = 0 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

у(0) = 9 · 02 – 03 = 0

Ответ: 0.

Задача №4

Найдите наибольшее значение функции:

у = 9х2 – х3

на отрезке [2;10]

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 18х – 3х2 = 3х(6 - х)

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:

Рис.2

В точке х = 6 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

у(6) = 9 · 62 – 63 = 324 – 216 = 108

Ответ: 108.

Задача №5

Найдите точку максимума функции:

у = х3 – 5х2 + 7х – 5

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 3х2 – 10х + 7

Найдем нули производной:

3х2 – 10х + 7 = 0

х1 = 1

х2 = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:

Рис.1

Искомая точка максимума х = 1

Ответ: 1.

Задача №6

Найдите точку минимума функции:

у = х3 + 5х2 + 7х – 5

Решение

Найдем производную заданной функции:

у' = 3х2 + 10х + 7

Найдем нули производной:

3х2 + 10х + 7 = 0

х1 = -1

х2 = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:

Рис.2

Искомая точка минимума х = -1

Ответ: −1.

Часто задаваемые вопросы:

✅ Что такое задачи на исследование функций?

↪ Задачи на исследование функций - это математические задачи, которые требуют анализа и понимания свойств функций, включая определение области определения и области значений, анализ поведения функции на промежутках, точки разрыва, асимптоты и экстремумы.

✅ Каковы шаги исследования функции на область определения?

↪ 1) Определение всех значений "x", при которых функция имеет смысл и не является неопределенной. 2) Исключение значений "x", которые приводят к делению на ноль или извлечению отрицательного числа под корнем.

✅ Как найти точки разрыва функции?

↪ Точки разрыва функции возникают, когда функция не является непрерывной в какой-то точке "x". Такие точки можно найти, исследуя значение функции в окрестности возможных разрывов.

Предыдущая статья