img

Задачи на исследование функций

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

 
Задача №1
 
Найдите наименьшее значение функции:
 
у = х3 – 27·х
 
на отрезке [0;4]
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 3х2 – 27 = 3(х2 – 9) = 3(х – 3)(х + 3)
 
Найдем нули производной:
 
3(х – 3)(х + 3)   <=>
0 \(≤\) х \(≤\) 4
 
х1 = -3
х2 = 3
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:
 
 
Рис.1
 
В точке х = 3 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
 
y=(3) = 27 - 27·3 = - 54
 
Ответ: −54.
 

 
Задача №2
 
Найдите наибольшее значение функции:
 
у = х3 – 3·х + 4
 
на отрезке [-2;0]
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 3х2 – 3 = 3(х2 – 1) = 3(х – 1)(х + 1)
 
Найдем нули производной:
 
3(х – 1)(х + 1)   <=>
- 2 \(≤\) х \(≤\) 0
 
х1 = -1
х2 = 1
 
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:
 
 
Рис.2
 
В точке х = -1 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
 
у(-1) = -1 + 3 + 4 = 6
 
Ответ: 6.
 
 
Задача №3
 
Найдите наименьшее значение функции:
 
у = 9х2 – х3
 
на отрезке [-1;5]
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 18х – 3х2 = 3х(6 - х)
 
Найдем нули производной:
 
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:
 
 
Рис.1
 
В точке х = 0 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
у(0) = 9 · 02 – 03 = 0
 
Ответ: 0.
 

Задача №4
 
Найдите наибольшее значение функции:
 
у = 9х2 – х3
 
на отрезке [2;10]
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 18х – 3х2 = 3х(6 - х)
 
Найдем нули производной:
 
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:
 
 
Рис.2
 
В точке х = 6 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
у(6) = 9 · 62 – 63 = 324 – 216 = 108
 
Ответ: 108.
 
 
Задача №5
 
Найдите точку максимума функции:
 
у = х3 – 5х2 + 7х – 5
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 3х2 – 10х + 7
 
Найдем нули производной:
 
2 – 10х + 7 = 0
 
х1 = 1
х2 = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)       
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:
 
 
Рис.1
 
Искомая точка максимума х = 1
 
Ответ: 1.
 

Задача №6
 
Найдите точку минимума функции:
 
у = х3 + 5х2 + 7х – 5
 
Решение
 
Найдем производную заданной функции:
 
у' = 3х2 + 10х + 7
 
Найдем нули производной:
 
2 + 10х + 7 = 0
 
х1 = -1
х2 = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)     
 
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:
 
Рис.2
 
Искомая точка минимума х = -1
 
Ответ: −1.
 

Часто задаваемые вопросы:

Задачи на исследование функций - это математические задачи, которые требуют анализа и понимания свойств функций, включая определение области определения и области значений, анализ поведения функции на промежутках, точки разрыва, асимптоты и экстремумы.

1) Определение всех значений "x", при которых функция имеет смысл и не является неопределенной. 2) Исключение значений "x", которые приводят к делению на ноль или извлечению отрицательного числа под корнем.

Точки разрыва функции возникают, когда функция не является непрерывной в какой-то точке "x". Такие точки можно найти, исследуя значение функции в окрестности возможных разрывов.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
13
Образование:
Могилевский педагогический институт
Проведенных занятий:
685
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Уральский государственный университет им. А.М.Горького
Проведенных занятий:
1187
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
28
Образование:
БГУ , Институт Позитивных Технологий и Консалтинга
Проведенных занятий:
2574
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)