img

Определение неопределенного интеграла

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Неопределенный интеграл — это понятие из математического анализа, которое используется для нахождения первообразной (антипроизводной) функции. В этой статье расскажем, что такое неопределенный интеграл и как его можно использовать.

Неопределенный интеграл - это обратная операция к дифференцированию. Когда мы дифференцируем функцию, мы находим ее производную, которая показывает, как быстро изменяется функция в каждой точке. Неопределенный интеграл, наоборот, позволяет найти функцию, производная которой равна исходной функции.

 
​Интеграл является важной частью дифференциального исчисления. Интегралы могут быть   двойные, тройные  и т.д. Для нахождения площади поверхности и объема геометрических тел используются различные типы интегралов. 
 
Неопределенный интеграл имеет вид: \(∫f (x)\, dx\)  и  определенный интеграл имеет вид: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)   
Область плоскости, ограниченной графиком определенный интеграла:
Площадь интеграла
 Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. По этой причине надо вспомнить первообразную, функцию, таблицу производных .
 
Функция \( F (x) = x^2\)  является первообразной для функции  \(f ( х ) = 2х\). Функции  \(f ( х ) = x^2+2\)  и \(f ( х ) = x^2+7\)   также является первообразными для  функции \(f ( х ) = 2х\). \(2\) и \(7-\) это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.  Для записи неопределенного интеграла использует знак  \( ∫\). Неопределенный интеграл - это совокупность всех первообразных функции \(f ( х ) = 2х\).  Операции интегрирования обратны дифференцированию.   \(∫2x = x^2+C\), где \(C\) это константа интегрирования, то есть если мы вычислим производную \(x^2\), то получим \(2x\), а это и есть \( ∫2x\).  Легко, не правда ли? Если вы не поняли, то вам надо повторить производную функции. Теперь мы можем вывести формулу по которой мы будем вычислять интеграл: \(∫u^ndu=\frac{u^n+1} {n+1}, n ≠ -1\).  мы вычитали 1, теперь мы прибавляем 1 , n не может быть равно 0.
 
Также существуют другие правила интегрирования для других основных функций которые надо выучить. Таблица интегралов поможет вам выучить все основные формулы интегралов:
Таблица интегралов
 
 
Решение неопределенного интеграла это обратный процесс нахождения первообразных дифференциального уравнения. Мы находим функцию, производная которой является интегралом, и не забываем добавлять "+ C" в конце.

История открытия интегралов

Принципы интегрального исчисления были сформулированы независимо друг от друга Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17-го века. Бернхард Риман дал строгое математическое определение интегралов. Первым документированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчисления древнегреческого астронома Евдокса, который пытался найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число известных площадей и объемов. Этот метод был далее разработан и использован Архимедом в 3-м веке до н. э. и использовался для расчета площадей  парабол и приближения к площади круга.  
 
Аналогичный метод был независимо разработан в Китае около 3-го века нашей эры Лю Хуэем, который использовал его, чтобы найти площадь круга. Этот метод позже был использован в 5-м веке китайскими математиками — отцом и сыном ЗУ Чунчжи и ЗУ Генгом, чтобы найти объем сферы.
 
Следующие значимые достижения в интегральном  исчислении не появлялись до 17-го века. В это время работы Кавальери и  Ферма начали закладывать основы современного исчисления.
 
В частности, фундаментальная теорема исчисления интегралов позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Равным по важности является комплексная математическая структура, которую разработали Ньютон и Лейбниц. Эта структура интегралов взята непосредственно из работы Лейбница и стала современным интегральным исчислением. Исчисление было изменено Риманом, используя пределы. Впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье, к которым определение Римана не применяется. Лебег сформулировал другое определение интеграла, основанное в теории мер (подполе реального анализа). 
 
Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Лейбницем в 1675 году. 

Где используют интегралы?

 
Интегралы широко используются во многих областях математики. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон. 
 
Интегралы могут быть использованы для вычисления площади двумерной области, имеющей криволинейную границу, а также для вычисления объема трехмерного объекта, имеющего криволинейную границу.
 
Интегралы  используются в физике, в таких областях, как кинематика, чтобы найти перемещение, время и скорость.
 

Часто задаваемые вопросы:

Неопределенный интеграл - это обратная операция к дифференцированию, которая позволяет найти функцию, производная которой равна исходной функции.

Символически неопределенный интеграл обозначается как ∫f(x) dx, где "f(x)" - подынтегральная функция, а "dx" - обозначение переменной, по которой мы интегрируем.

Для нахождения неопределенного интеграла мы применяем правила и методы интегрирования, в основном используя обратные операции к правилам дифференцирования, чтобы найти функцию, производная которой равна исходной функции.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
220
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Пермский государственный университет
Проведенных занятий:
1172
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
2168
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)