Определение неопределенного интеграла

​Интеграл является важной частью дифференциального исчисления. Интегралы могут быть   двойные, тройные  и т.д. Для нахождения площади поверхности и объема геометрических тел используются различные типы интегралов. 
Неопределенный интеграл имеет вид: \(∫f (x)\, dx\)  и  определенный интеграла имеет вид: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)   
Область плоскости, ограниченной графиком определенный интеграла:
Площадь интеграла
 Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. По этой причине надо вспомнить первообразную, функцию, таблицу производных .
Функция \( F (x) = x^2\)  является первообразной для функции  \(f ( х ) = 2х\). Функции  \(f ( х ) = x^2+2\)  и \(f ( х ) = x^2+7\)   также является первообразными для  функции \(f ( х ) = 2х\). \(2\) и \(7-\) это константы, производные которых равны нулю, поэтому мы можем подставлять их сколько угодно, значение первообразной не изменится.  Для записи неопределенного интеграла использует знак  \( ∫\). Неопределенный интеграл - это совокупность всех первообразных функции \(f ( х ) = 2х\).  Операции интегрирования обратны дифференцированию.   \(∫2x = x^2+C\), где \(C\) это константа интегрирования, то есть если мы вычислим производную \(x^2\), то получим \(2x\), а это и есть \( ∫2x\).  Легко, не правда ли? Если вы не поняли, то вам надо повторить производную функции. Теперь мы можем вывести формулу по которой мы будем вычислять интеграл: \(∫u^ndu=\frac{u^n+1} {n+1}, n ≠ -1\).  мы вычитали 1, теперь мы прибавляем 1 , n не может быть равно 0. Также существуют другие правила интегрирования для других основных функций которые надо выучить:
Таблица интегралов
 
 
Решение неопределенного интеграла это обратный процесс нахождения первообразных дифференциального уравнения. Мы находим функцию, производная которой является интегралом, и не забываем добавлять "+ C" в конце.

 
Принципы интегрального исчесления были сформулированы независимо друг от друга Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в конце 17-го века. Бернхард Риман дал строгое математическое определение интегралов. Первым документированным систематическим методом, способным определять интегралы, является метод исчесления древнегреческого астронома Евдокса , который пытался найти площади и объемы, разбив их на бесконечное число известных площадей и объемов. Этот метод был далее разработан и использован Архимедом в 3-м веке до н. э. и использовался для расчета площадей  парабол и приближения к площади круга.  
Аналогичный метод был независимо разработан в Китае около 3-го века нашей эры Лю Хуэем, который использовал его, чтобы найти площадь круга. Этот метод позже был использован в 5-м веке китайскими математиками-отцом и сыном ЗУ Чунчжи и ЗУ Генгом, чтобы найти объем сферы.
Следующие значимые достижения в интегральном  исчислении не появлялись до 17-го века. В это время работы Кавальери и  Ферма начали закладывать основы современного исчисления.
 В частности, фундаментальная теорема исчисления интегралов позволяет решать гораздо более широкий класс задач. Равным по важности является комплексная математическая структура, которую разработали Ньютон и Лейбниц. Эта структура интегралов взята непосредственно из работы Лейбница и стала современным интегральным исчислением.Исчисление было изменено Риманом, используя пределы. Впоследствии были рассмотрены более общие функции, особенно в контексте анализа Фурье, к которым определение Римана не применяется. Лебег сформулировал другое определение интеграла, основанное в теории мер (подполе реального анализа). 
Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Готфридом Лейбницем в 1675 году. 

 
Интегралы широко используются во многих областях математики. Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон. 
Интегралы могут быть использованы для вычисления площади двумерной области, имеющей криволинейную границу, а также для вычисления объема трехмерного объекта, имеющего криволинейную границу.
Интегралы  используются в физике, в таких областях, как кинематика, чтобы найти перемещение, время и скорость.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Крымский федеральный университет им. Вернадского
Проведенных занятий:
635
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
184
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
117
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы