Рациональные уравнения: примеры решения

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Примеры решения рациональных уравнений

Пример 1. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\).

Решение :

\(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\)

\(5\left(x-2\right)=\left(x-7\right)\cdot \:2\)

\(5x-10=2x-14\)

\(5x=2x-4\)

\(3x=-4\)

\(x=-\frac{4}{3}\)

Ответ: \(x=-\frac{4}{3}\);

Пример 2. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{x-3}{3-x}=2\).

Решение :

\(\frac{x-3}{3-x}=2\)\(\)

\(x-3=2\left(3-x\right)\)

\(x=-2x+9\)

\(3x=9\)

\(x=3\)

Ответ: \(x=3\) ;

Пример 3. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)

Решение :

\(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)

\(\:x^2-7x+12=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

Домножим обе части на уравнения на \(\left(x-4\right)\left(x-3\right)\):

\(\frac{7x+5}{x-4}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{6x-1}{x-3}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{1}{x^2-7x+12}\left(x-4\right)\left(x-3\right)=1\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

\(\left(7x+5\right)\left(x-3\right)-\left(6x-1\right)\left(x-4\right)-1=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)

\(x^2+9x-20=x^2-7x+12\)

\(x^2+9x=x^2-7x+32\)

\(16x=32\)

\(x=2\)

Ответ: \(x=2\);

Пример 4. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)

Решение :

\(\frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)

Домножим обе части уравнения на \(\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\):

\(\frac{7}{x-3}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{10}{x-2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{6}{x-1}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)

Сокращаем: \(7\left(x-2\right)\left(x-1\right)-10\left(x-3\right)\left(x-1\right)-6\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\)

Раскрываем скобки: \(7x^2-21x+14-10x^2+40x-30-6x^2+30x-36\)

Приводим подобные: \(-9x^2+49x-52\)

Решаем полученное квадратичное уравнение \(x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\):

\(x_{1}=\frac{-49+ \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}\) \(x_{2}=\frac{-49- \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}\)

\(x=\frac{13}{9},\:x=4\)

Ответ: \(x=\frac{13}{9},\:x=4\).

Предыдущая статья