Рациональные уравнения: примеры решения

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Предметы
Специализации
Примеры решения рациональных уравнений
Пример 1. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\).
Решение :
\(\frac{5}{x-7}=\frac{2}{x-2}\)
\(5\left(x-2\right)=\left(x-7\right)\cdot \:2\)
\(5x-10=2x-14\)
\(5x=2x-4\)
\(3x=-4\)
\(x=-\frac{4}{3}\)
Ответ: \(x=-\frac{4}{3}\);
Пример 2. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{x-3}{3-x}=2\).
Решение :
\(\frac{x-3}{3-x}=2\)\(​​\)
\(x-3=2\left(3-x\right)\)
\(x=-2x+9\)
\(3x=9\)
\(x=3\)
Ответ: \(x=3\) ;
Пример 3. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)
Решение :
\(\frac{7x+5}{x-4}-\frac{6x-1}{x-3}-\frac{1}{x^2-7x+12}=1\)
\(\:x^2-7x+12=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)
Домножим обе части на уравнения на  \(\left(x-4\right)\left(x-3\right)\):
\(\frac{7x+5}{x-4}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{6x-1}{x-3}\left(x-4\right)\left(x-3\right)-\frac{1}{x^2-7x+12}\left(x-4\right)\left(x-3\right)=1\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)
\(\left(7x+5\right)\left(x-3\right)-\left(6x-1\right)\left(x-4\right)-1=\left(x-4\right)\left(x-3\right)\)
\(x^2+9x-20=x^2-7x+12\)
\(x^2+9x=x^2-7x+32\)
\(16x=32\)
\(x=2\)
Ответ: \(x=2\);
Пример 4. Найдите \(x \) из уравнения: \(\frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)
Решение :
\(\frac{7}{x-3}-\frac{10}{x-2}-\frac{6}{x-1}=0\)
Домножим обе части уравнения на \(\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\):
\(\frac{7}{x-3}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{10}{x-2}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)-\frac{6}{x-1}\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)
Сокращаем: \(7\left(x-2\right)\left(x-1\right)-10\left(x-3\right)\left(x-1\right)-6\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\)
Раскрываем скобки: \(7x^2-21x+14-10x^2+40x-30-6x^2+30x-36\)
Приводим подобные: \(-9x^2+49x-52\)
Решаем полученное квадратичное уравнение \(x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\):
\(x_{1}=\frac{-49+ \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}\)  \(x_{2}=\frac{-49- \sqrt{49^2-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}\)
\(x=\frac{13}{9},\:x=4\)
Ответ:  \(x=\frac{13}{9},\:x=4\).
 
 
 
 
 
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе "Альфа". Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Фёдор Владимирович Каузов
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный университет
Проведенных занятий:
34
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Анастасия Сергеевна Козина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Кемеровского государственного университета
Проведенных занятий:
161
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Никита Сергеевич Анохин
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Керченский государственный морской технологический университет
Проведенных занятий:
502
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Похожие статьи