Учимся решать задачи по планиметрии

Условие:
 
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
 
Решение
 
 
 
а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
 
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
 
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
 
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
 
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:
 
  
 
Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:
 
 
Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
 
  
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
 
 \(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
 
 
Ответ: \(1 \over 15\)
 
Автор - Андрей Найденов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Педагогическое училище г.Балта
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 1-4 классов. Стараюсь в работе использовать индивидуальный подход. Подвожу ребенка к тому, чтобы он сам пришел к правильному выводу. Вместе обсуждаем пользу знаний по данному предмету, как это может пригодиться в жизни и как достичь успеха в учёбе. Очень хочется пробудить у детишек интерес ,чтобы учеба в школе доставляла радость, а не уныние.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Белорусский национальный технический университет
Проведенных занятий:
380
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Математика – мать всех точных наук. Без знаний математики невозможно продвинуться в изучении каких-либо технических дисциплин. Хочу, чтобы мои ученики искренне полюбили математику. Мой подход в обучении - исключить все пробелы в знаниях ученика и планомерно продвигаться в изучении материалов.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
25
Образование:
Костанайской педагогический университет
Проведенных занятий:
87
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Информатика: 5-11 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ОГЭ, ЕГЭ. Математика: 3-6 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ВПР.