Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
Учимся решать задачи по планиметрии
Обновлено: 31 авг 2023
Учимся решать задачи по планиметрии
Условие:
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение
![](/common/upload/ckeditor/838-4e400152382009ae532afa9b75b68189.png)
а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:
![](/common/upload/ckeditor/327-fd53f20c2432439fcec772a8497287e0.png)
Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:
![](/common/upload/ckeditor/902-296e068b970e8e646de0e8f7288ab8e0.png)
Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
![](/common/upload/ckeditor/939-69f4eeb6d49259193f7a3a437d9e456e.png)
Ответ: \(1 \over 15\)
Автор - Андрей Найденов
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Репетитор по олимпиадной математике
-
Подготовка к олимпиадам по химии
-
Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
-
Репетитор по английскому для взрослых
-
ВПР по математике
-
Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
-
Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
-
Подготовка к ОГЭ по литературе
-
Scratch