Учимся решать задачи по планиметрии

Условие:

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).

Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°

Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.

б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:

Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:

Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)

Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:

\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)

Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

Ответ: \(1 \over 15\)

Автор - Андрей Найденов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Ирина Михайловна Соловьёва

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Педагогическое училище г.Балта

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 1-4 классов. Стараюсь в работе использовать индивидуальный подход. Подвожу ребенка к тому, чтобы он сам пришел к правильному выводу. Вместе обсуждаем пользу знаний по данному предмету, как это может пригодиться в жизни и как достичь успеха в учёбе. Очень хочется пробудить у детишек интерес ,чтобы учеба в школе доставляла радость, а не уныние.

Анна Петровна Беляцкая

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Белорусский национальный технический университет

Проведенных занятий:

380

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Математика – мать всех точных наук. Без знаний математики невозможно продвинуться в изучении каких-либо технических дисциплин. Хочу, чтобы мои ученики искренне полюбили математику. Мой подход в обучении - исключить все пробелы в знаниях ученика и планомерно продвигаться в изучении материалов.

Анжела Валентиновна Самсонова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Костанайской педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Информатика: 5-11 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ОГЭ, ЕГЭ. Математика: 3-6 класс (объяснение материала, корректировка знаний по темам, решение логических задач), подготовка к контрольным работам, ВПР.