Учимся решать задачи по планиметрии
Условие:
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:

Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:

Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

Ответ: \(1 \over 15\)
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
761
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое.
Буду рада видеть на своих уроках!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Куйбышевский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
233
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Учитель высшей категории. Имею большой опыт преподавания в школе. Активно использую проблемно-поисковый метод обучения. На каждом занятии создаю ситуацию успеха. Объясняю материал доступно и легко. На занятиях мы сможем успешно "подтянуть" материал и подготовиться к контрольным и экзаменам.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Белорусский Государственный Педагогический Университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор, который с удовольствием поделится своими знаниями по математике с ребятами 5-11 класса. Обязательно помогу Вам повысить знания и улучшить успеваемость. И ребята для вас задачка: три курицы за три дня снесли 3 яйца. Сколько снесут яиц 12 кур за 12 дней? думаете 12?
Похожие статьи
- Площадь треугольника
- Рациональные уравнения: примеры решения
- Как легко умножить на 0,5
- Как определить объем пирамиды
- Сезон аллергии: как распознать и как спасаться
- Что такое педикулез и как с ним бороться
- Как организовать режим школьника на каникулах, чтобы потом было легче снова идти в школу
- Родители запрещают общаться с мальчиком. Что делать?