Учимся решать задачи по планиметрии
Предметы
Специализации
- Репетитор по олимпиадной математике
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по английскому для взрослых
- ВПР по математике
- Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
- Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Scratch
Условие:
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение
а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:
Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:
Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
Ответ: \(1 \over 15\)
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
21
Образование:
Челябинский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
2167
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Университет штата Аризона
Проведенных занятий:
854
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Самаркандский Государственный Университет
Проведенных занятий:
293
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)