Учимся решать задачи по планиметрии

Условие:
 
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
 
Решение
 
 
 
а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
 
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
 
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
 
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
 
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:
 
  
 
Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:
 
 
Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
 
  
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
 
 \(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
 
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:
 
 
Ответ: \(1 \over 15\)
 
Автор - Андрей Найденов
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Уральский государственный университет им. А.М.Горького
Проведенных занятий:
574
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Гомельский государственный технический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Московский энергетический институт
Проведенных занятий:
497
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации