Учимся решать задачи по планиметрии

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Условие:

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.

Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).

Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°

Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.

б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что: