Учимся решать задачи по планиметрии
Условие:
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 4.
Решение

а) Изобразим заданный треугольник, обозначим вершины и точки (рис. 1).
Очевидно, что углы BAC и KHB равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Теперь рассмотрим четырёхугольник BKHM. Мы видим, что в нем ∠BKH + ∠BMH = 90° + 90° = 180°
Отсюда, по свойству четырехугольников, вписанных в окружность, четырёхугольник BKHM вписан в окружность. Это значит, что углы KHB и KMB являются вписанными в окружность, и опираются на одну и ту же дугу. Из чего следует, что они равны. Таким образом, ∠BAC = ∠KHB = ∠KMB. Треугольники ABC и MBK имеют общий угол B, а ∠BAC = ∠KMB, значит, эти треугольники подобны по двум углам.
б) Из прямоугольного треугольника BKH, используя определение синуса угла, находим, что:

Для треугольника ABC, с учетом доказанного ранее, будет справедливо равенство:

Зная, что ∠KHB = ∠BAC, получим: \({BC\over BK}={2R\over BH}\)
Стороны BC и BK являются сходственными в подобных треугольниках ABC и MBK, их коэффициент подобия равен:
\(k={BC\over BK}={2R\over BH}=4\)
Найдём отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC:

Ответ: \(1 \over 15\)
Автор - Андрей Найденов
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Уральский государственный университет им. А.М.Горького
Проведенных занятий:
574
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Гомельский государственный технический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Московский энергетический институт
Проведенных занятий:
497
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Репетитор по олимпиадной математике
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по английскому для взрослых
- ВПР по математике
- Репетитор для подготовки к ВПР по обществознанию
- Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
- Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Scratch
Похожие статьи
- Свойства параллелограмма. Параллелограмм и его свойства.
- Касательная к окружности. Точка касания окружности
- РУДН: факультет ветеринарии
- Задачи на прогрессии
- Как вести себя преподавателю со "сложными" детьми
- Родители не пускают гулять с друзьями: что делать?
- Как приготовить овощи, каши и мясо, чтобы ребенок их съел
- Как перевести десятичную дробь в обыкновенную: 2 способа
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так