Свойства интегралов

  1. Интеграл на промежутке [a,b] равен его  длине: \( \int\limits_a^b f (x)dx=F(b)-F(a)\)
  2. Символ интеграла можно менять: \( \int\limits_a^b f (x)dx= \int\limits_a^b f (s)ds\)
  3. Когда пределы интегрирования равны, то интеграл равен 0: \( \int\limits_a^a f (x)dx=0\)
  4. Если мы меняем предел интегрирования интеграла, то  меняем знак на противоположный : \( \int\limits_b^a f (x)dx=-\int\limits_a^b f (x)dx\)
  5. Множитель можно и нужно выносить за знак интеграла:  \( \int\limits_a^b 2f (x)dx=2 \int\limits_a^b f (x)dx\)
  6. Разложение алгебраичсекой суммы интеграла:    \( \int\limits_a^b (f (x){\pm}g(x))dx= \int\limits_a^b f (x)dx\pm\int\limits_a^b g(x)dx\)
  7.      \( \int\limits_a^b f (x)dx=\int\limits_a^c f (x)dx+\int\limits_c^b f (x)dx\)
 Пример 1. Дано:   \( \int\limits_0^8 f(x)dx=15 \)     \( \int\limits_5^8 f(x)dx=11\) Найти: \( \int\limits_0^5 f(x)dx\)
Решениe:
 
  1.      \( \int\limits_0^8 f(x)dx= \int\limits_0^5 f(x)dx+\int\limits_5^8 f(x)dx\)
  2.      \(15= \int\limits_0^5 f(x)dx+11\)
  3.      \( \int\limits_0^5 f(x)dx=4\)
Пример 2. Вычислить : \( \int\limits_{-1}^1 (3+2x^2 )dx\)   
Решение: \(3 \int\limits_{-1}^1 dx\)\(+​​​​\)\(2 \int\limits_{-1}^1 x^2 dx\)\(\) = \(3x|^{ \:\:1}_{-1}\)  \(+2\frac{x^3}{3}|^{ \:\:1}_{-1}\)     \(=3⋅(1−(−1))+2(\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3}))\)\(=6+1\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}\)
 
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
17
Образование:
Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни
Проведенных занятий:
433
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-8 классов. Моя профессия – это радость общения с детьми. Это моменты счастья, когда я вижу удивление детей от того, что у них получается выполнить задание. Считаю, что нужно подбирать индивидуальную методику для каждого ученика (обратить внимание на характер, настроение). Мне очень хочется научить детей грамотно писать и говорить. Уверена, что после наших уроков у детей останутся только хорошие впечатления. Не ленитесь, уделяйте больше времени образованию, упорно совершенствуйте свои способности!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
117
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 классов и информатике 9 класса. Имею опыт работы подготовки к ОГЭ по математике и информатике. Важным в своей работе считаю изучение и учет личностных особенностей ребенка, независимо от его успеваемости. Люблю математику за то, что она придает мыслям логичность, ясность и точность, развивает критичность мышления, интуицию, тренирует силу воли и учит преодолевать трудности.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
Гродненский государственный университет им. Янки Купалы
Проведенных занятий:
1664
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов. В математике есть не только истина, но и наивысшая красота! Помогу Вам познать эту красоту и простоту. Понять математику не сложно, эта наука - фактов. И как ни странно это звучит, легче понимают этот язык фактов именно дети. И чем раньше мы начинаем уделять этому время, тем больших высот мы достигаем! Мы будем развивать мозг, он также как мускулы, развивается, когда его тренируешь! В процессе учебы будет развиваться воображение и логическое мышление и самое главное - уверенность в себе. Ты точно сможешь овладеть математическими знаниями, умениями и навыками так необходимыми в жизни. Доверьтесь мне и моему опыту и все получится!