Свойства интегралов

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Интеграл на промежутке [a,b] равен его длине: \( \int\limits_a^b f (x)dx=F(b)-F(a)\)
Символ интеграла можно менять: \( \int\limits_a^b f (x)dx= \int\limits_a^b f (s)ds\)
Когда пределы интегрирования равны, то интеграл равен 0: \( \int\limits_a^a f (x)dx=0\)
Если мы меняем предел интегрирования интеграла, то меняем знак на противоположный : \( \int\limits_b^a f (x)dx=-\int\limits_a^b f (x)dx\)
Множитель можно и нужно выносить за знак интеграла: \( \int\limits_a^b 2f (x)dx=2 \int\limits_a^b f (x)dx\)
Разложение алгебраичсекой суммы интеграла: \( \int\limits_a^b (f (x){\pm}g(x))dx= \int\limits_a^b f (x)dx\pm\int\limits_a^b g(x)dx\)
\( \int\limits_a^b f (x)dx=\int\limits_a^c f (x)dx+\int\limits_c^b f (x)dx\)

Пример 1. Дано: \( \int\limits_0^8 f(x)dx=15 \) \( \int\limits_5^8 f(x)dx=11\) Найти: \( \int\limits_0^5 f(x)dx\).

Решениe:

\( \int\limits_0^8 f(x)dx= \int\limits_0^5 f(x)dx+\int\limits_5^8 f(x)dx\)
\(15= \int\limits_0^5 f(x)dx+11\)
\( \int\limits_0^5 f(x)dx=4\)

Пример 2. Вычислить : \( \int\limits_{-1}^1 (3+2x^2 )dx\)

Решение: \(3 \int\limits_{-1}^1 dx\)\(+\)\(2 \int\limits_{-1}^1 x^2 dx\)\(\) = \(3x|^{ \:\:1}_{-1}\) \(+2\frac{x^3}{3}|^{ \:\:1}_{-1}\) \(=3⋅(1−(−1))+2(\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3}))\)\(=6+1\frac{1}{3}=7\frac{1}{3}\)

Предыдущая статья