Неравенства с модулем

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Как решать неравенства с модулем?

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений тем, что знаки неравенства не позволяют выполнять подстановку, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы решаем по определенной системе. Система линейных неравенств включает в себя несколько выражений, которые при решении могут дать ряд решений.

\(|x|\)— расстояние на числовой прямой от \(0\) до точки \(a\).

\(|u|=u\) \(-->\) \(u\geq0\)
\(|u|=-u\) \(-->\) \(u\le \: 0\)
\(|u|=|v|\) \(-->\) \(v^2=u^2\)
\(|x|<a \) \(-->\) \(-a<x<a\) Система
\(|x|\le \:a \) \(-->\) \(-a\le \:x\le \:a\)
\(|x|> a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x < -a \\ x >a \\ \end{gathered} \right.\) Совокупность
\(|x|\geq a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)

Пример 1. Решить неравенство \(|3+x| \geq|x|\).

Решение. \(|3+x| \geq|x|\)\(-->\) \((3+x)^2\geq x^2\) \(-->\) \(x^2+6x+9\geq x^2\) \(-->\) \(6x\geq -9\) \(-->\) \(x\geq -1,5\)

Ответ: \([-1,5; +∞)\)

Пример 2. Решить неравенство \(\left|3+2x\right|\le \:7\). Система

Решение. \(\left|3+2x\right|\le \:7\) \(-->\) \(3+2x\le \:7\) и \(3+2x\ge \:-7\) или \(-7\le \:3+2x\le \:7\)

\(x\le \:2\) и \(x\ge \:-5\) \(-5\le \:x\le \:2\)

Ответ: [-5;2];

Пример 3. Решить неравенство \(\left|3x-5\right|<\:4\)

Решение: \(-4<3x-5<4\) \(-->\) \(\frac{1}{3}<x<3\)

Ответ: \((\frac{1}{3};3)\);

Пример 4. Решить неравенство \(\left|x-8\right|\ge \:\:3\)

Решение: Совокупность \(\) \(\left[ \begin{gathered} x-8\le \:-3\\ x-8\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x\le \:5\\ x\ge \:11 \\ \end{gathered} \right.\)