Неравенства с модулем

Как решать неравенства с модулем?
Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений тем, что знаки неравенства не позволяют выполнять подстановку, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы решаем по определенной системе. Система линейных неравенств включает в себя несколько выражений, которые при решении могут дать ряд решений.
Неравенства с модулем
 
\(|x|\)— расстояние на числовой прямой от  \(0\) до точки \(a\).

  1. \(|u|=u\) \(-->\) \(u\geq0\)
  2. \(|u|=-u\) \(-->\) \(u\le \: 0\)
  3. \(|u|=|v|\)     \(-->\) \(v^2=u^2\)
  4. \(|x|<a \)  \(-->\)  \(-a<x<a\)    Система
  5. \(|x|\le \:a \) \(-->\)  \(-a\le \:x\le \:a\)  
  6. \(|x|> a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x < -a \\ x >a \\ \end{gathered} \right.\)  Совокупность
  7. \(|x|\geq a \) \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x \le \: -a \\ x \geq a \\ \end{gathered} \right.\)  

 
Пример 1. Решить неравенство  \(|3+x| \geq|x|\)
Решение.  \(|3+x| \geq|x|\)\(-->\) \((3+x)^2\geq x^2\) \(-->\) \(x^2+6x+9\geq x^2\)  \(-->\) \(6x\geq -9\) \(-->\) \(x\geq -1,5\)
Неравенства с модулем
Ответ: \([-1,5; +∞)\)

Пример 2. Решить неравенство \(\left|3+2x\right|\le \:7\).  Система
Решение.  \(\left|3+2x\right|\le \:7\)     \(-->\)    \(3+2x\le \:7\) и  \(3+2x\ge \:-7\)  или  \(-7\le \:3+2x\le \:7\)
                                                          \(x\le \:2\)         и   \(x\ge \:-5\)                       \(-5\le \:x\le \:2\)
Ответ: [-5;2];

  Пример 3. Решить неравенство \(\left|3x-5\right|<\:4\)
Решение:         \(-4<3x-5<4\)  \(-->\) \(\frac{1}{3}<x<3\)
   Неравенства с модулем
                         
Ответ\((\frac{1}{3};3)\);

Пример 4. Решить неравенство \(\left|x-8\right|\ge \:\:3\)
Решение: Совокупность  \(\) \(\left[ \begin{gathered} x-8\le \:-3\\ x-8\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)  \(-->\) \(\left[ \begin{gathered} x\le \:5\\ x\ge \:11 \\ \end{gathered} \right.\)
Неравенства с модулем
Ответ: \((+∞;5)⋃ (11;+∞)\)
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы
Проведенных занятий:
36
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
2
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Проведенных занятий:
57
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации