Модуль числа (Часть 2)

    Модуль абсолютная величина числа
      КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Продолжение статьи  Модуль числа (Часть 1)  
        \( (3)^2 = 9\)
           \(b = 3\)
         но!!! 
          \( (-3)^2 = 9 \)     \(b = -3\)

Положительный квадратный корень квадрата числа равен этому числу.
      Теорема 
Для любого действительного числа \(a\) 
    \(\sqrt{a^2} = |a|\)
    \( \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = |-4|\)
 
\(|- a| = | a |\) a  имеет одинаковые абсолютные значения.
\(| ab | = |a|*|b|\)  произведение модуля является произведением абсолютных значений.
\(|\frac{ a} {b}| =\frac{ |a|} { |b|}\) -деление модуля равно отношению абсолютных значений.
      Доказательство 
 
\( 1) |-a| = \sqrt{(- a) ^2} = \sqrt{a^2} = |a|\)
\(2) |ab| = \sqrt{(ab)^2} =\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2}\sqrt{b^2} = |a||b|\)
     
\( |-4| = |4| \)
\( |2*(-3)| = |-6| = 6 = |2|*|3| = 6\)
\( |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4\)
    

      Геометрическая интерпретация абсолютной величины
Где A и B-точки с координатами a и b. Расстояние между A и B 
     Модуль
 
    Если \(a\) и \(b\) являются точками на координатной линии с координатами A и b соответственно, то расстояние \( d\) между A и B 
   Модуль    
\( d = |b-a| \)
    \(| x-a | < k (k>0)\)
          Другая форма записи
-\(k < x-a < k \)

Пример 1. Решить неравенство 
\( | x-3 |< 4 \)
записываем как:
 \( -4 < х-3 < 4 \)
прибавляем \(3\) с обоих сторон:
\( -1 < x < 7 \)
Ответ: \( (-1,7)\)
   Пример 2. Решить неравенство:
Решить \( |x+4 |≥ 2 \)
\( x+4 ≤ -2\)
\(х ≤ -6 х+4 ≥ 2\)
\(x≥ -2\)
Ответ: объединение из двух промежутков:
      \( (-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )\)