Модуль числа (Часть 2)

Модуль абсолютная величина числа

КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

Продолжение статьи Модуль числа (Часть 1)

\( (3)^2 = 9\)
\(b = 3\)
но!!!
\( (-3)^2 = 9 \) \(b = -3\)

Положительный квадратный корень квадрата числа равен этому числу.

Теорема
Для любого действительного числа \(a\)
\(\sqrt{a^2} = |a|\)
\( \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = |-4|\)

\(|- a| = | a |\) a имеет одинаковые абсолютные значения.
\(| ab | = |a|*|b|\) произведение модуля является произведением абсолютных значений.
\(|\frac{ a} {b}| =\frac{ |a|} { |b|}\) -деление модуля равно отношению абсолютных значений.
Доказательство

\( 1) |-a| = \sqrt{(- a) ^2} = \sqrt{a^2} = |a|\)

\(2) |ab| = \sqrt{(ab)^2} =\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2}\sqrt{b^2} = |a||b|\)

\( |-4| = |4| \)

\( |2*(-3)| = |-6| = 6 = |2|*|3| = 6\)

\( |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4\)

Геометрическая интерпретация абсолютной величины

Где A и B-точки с координатами a и b. Расстояние между A и B

Если \(a\) и \(b\) являются точками на координатной линии с координатами A и b соответственно, то расстояние \( d\) между A и B
Модуль

\( d = |b-a| \)
\(| x-a | < k (k>0)\)

Другая форма записи

-\(k < x-a < k \)

Пример 1. Решить неравенство
\( | x-3 |< 4 \)
записываем как:
\( -4 < х-3 < 4 \)
прибавляем \(3\) с обоих сторон:
\( -1 < x < 7 \)
Ответ: \( (-1,7)\)

Пример 2. Решить неравенство:
Решить \( |x+4 |≥ 2 \)
\( x+4 ≤ -2\)
\(х ≤ -6 х+4 ≥ 2\)
\(x≥ -2\)
Ответ: объединение из двух промежутков:
\( (-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )\)

Предыдущая статья