Как решать иррациональные уравнения?

Сегодня я предлагаю вам разобрать вопрос, связанный с решением иррациональных уравнений (ЕГЭ профильного уровня). Эти уравнения можно найти в задании №13. Можно выделить несколько типов иррациональных уравнений, однако путь решения примерно одинаков и сводится к простому правилу – «избавится от иррациональности».

 

Разберемся на конкретном примере: 

 

Задание 13   

 

Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5e981e07efa8e80127f7f04c7267dfdfp.png

Решение

 

Сделаем замену переменной: https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png Получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/73/73e4d3ec7ad76aeb483207f970ce2014p.png

Заметим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/56/56832cb4139aa7ae45b302dc6f8123bbp.png и, поэтому, https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3bc0d793e77f2266ac3362b0a2553380p.png получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/81/8162cf577231463f3aeedc3bc8e2810dp.png

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/13/13a41dc14915810ccd99a97f19ad4495p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3bb45cb902a1ff3b1eaf371d71098a65p.png

 

Итак, уравнение решено. На что обратить внимание?

      

Первое. В изначальном уравнении у нас присутствует «корень под корнем». Мы изящно выходим из этой ситуации, сделав замену внутреннего корня на новую переменную:  https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png

      

Таким образом, мы получаем более простое иррациональное уравнение, в котором есть два радикала, связанные между собой знаком плюс.

Причем оба подкоренных выражения являются формулами сокращенного умножения. Первый корень – это квадрат суммы, а второй корень – это квадрат разности.

      

Далее решение продолжаем способом, при котором подкоренные выражения «сворачиваем» по соотвествующим формулам сокращенного умножения. Процедура эта стандартная, и в решении подробно не расписана.

      

Следующий этап, который тоже не расписан в решении: под корнем получаеся скобка в квадрате, что позволяет нам избавиться и от оставшихся радикалов.

      

Второй момент. Вот здесь находится первый подводный камень в решении данного уравнения. Необходимо помнить, что подкоренное выражение у нас всегда неотрицательное, т.е. «больше или равно нулю». Это позволяет записать подкоренные выражения, используя определение модуля. Что мы и сделали. У нас вместо суммы двух корней получилась сумма двух двучленов «по модулю».

 

Многие ученики бояся уравнений с модулями. Поверьте, это только из-за недостатка практики. Здесь работает простое правило: чем больше решаешь, тем меньше боишься!

      

Итак, имеем сумму двух выражений по модулю. Первое выражение сразу же может быть раскрыто на том основании, что при замене переменных мы, избавившись от радикала: https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png, понимаем, что выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Отсюда и условие, что https://ege.sdamgia.ru/formula/56/56832cb4139aa7ae45b302dc6f8123bbp.png. На этом основании мы доказали, что первое выражение «по модулю» будет всегда положительное. Так как «2+положительное число y» всегда будет положительным.

      

И третий момент. Второе выражение «по модулю». Это не так очевидно, как все предыдущее. Но посмотрите: выражение «y - 2» действительно меньше или равно нулю. Это кажется невероятным, но, согласно определению модуля, выражение под модулем действительно «меньше или равно нулю». Это условие позволяет нам понять, что значение «у» ограничено как «слева», так и «справа». Т.е «y» больше «0» - это ограничение «слева», и «y» меньше «2» - это и есть ограничение «справа».

 

На сегодня все. Желаю краcивых решений! И помните: математику проще полюбить, когда изучаешь её в приятной обстановке при помощи интересных заданий и креативных педагогов. Все это готова Вам предложить "Альфа-школа".
 
Автор: Андрей Найдёнов.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
22
Образование:
Орский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
208
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. В математике и физике всё подчиняется определенным законам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. Стремлюсь скучные формулы и законы обогащать их образами и картинами, на которых видны связующие нити. На моих занятиях учащиеся понимают практическую значимость предметов. Ежегодно успешно сдают ОГЭ по математике и физике. До встречи на увлекательных занятиях!!!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Кубанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
17
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ (базовый и профильный). Люблю математику за то, что она развивает аналитическое и критическое мышление Системно-деятельностный подход Информационно-развивающий и репродуктивный методы Подробное и доступное объяснение, уважительное отношение, индивидуальный подход Умею находить подход к ученикам любого уровня подготовки.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Проведенных занятий:
895
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Я люблю математику за ее точность и однозначность, она помогает мыслить логически, формирует алгоритмическое мышление. При работе с учениками использую наглядное представление материала, игры, таблицы с кратким теоретическим материалом. Верю в то, что главное не отметка, а те знания, которые ученик усвоил и может применить на практике.

Десятичные дроби: (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Курс подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Геометрия с нуля

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие