Как решать иррациональные уравнения?

Сегодня я предлагаю вам разобрать вопрос, связанный с решением иррациональных уравнений (ЕГЭ профильного уровня). Эти уравнения можно найти в задании №13. Можно выделить несколько типов иррациональных уравнений, однако путь решения примерно одинаков и сводится к простому правилу – «избавится от иррациональности».

 

Разберемся на конкретном примере: 

 

Задание 13   

 

Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/5e/5e981e07efa8e80127f7f04c7267dfdfp.png

Решение

 

Сделаем замену переменной: https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png Получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/73/73e4d3ec7ad76aeb483207f970ce2014p.png

Заметим, что https://ege.sdamgia.ru/formula/56/56832cb4139aa7ae45b302dc6f8123bbp.png и, поэтому, https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3bc0d793e77f2266ac3362b0a2553380p.png получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/81/8162cf577231463f3aeedc3bc8e2810dp.png

Воспользуемся определением модуля. Получаем:

https://ege.sdamgia.ru/formula/13/13a41dc14915810ccd99a97f19ad4495p.png

 

Ответ: https://ege.sdamgia.ru/formula/3b/3bb45cb902a1ff3b1eaf371d71098a65p.png

 

Итак, уравнение решено. На что обратить внимание?

      

Первое. В изначальном уравнении у нас присутствует «корень под корнем». Мы изящно выходим из этой ситуации, сделав замену внутреннего корня на новую переменную:  https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png

      

Таким образом, мы получаем более простое иррациональное уравнение, в котором есть два радикала, связанные между собой знаком плюс.

Причем оба подкоренных выражения являются формулами сокращенного умножения. Первый корень – это квадрат суммы, а второй корень – это квадрат разности.

      

Далее решение продолжаем способом, при котором подкоренные выражения «сворачиваем» по соотвествующим формулам сокращенного умножения. Процедура эта стандартная, и в решении подробно не расписана.

      

Следующий этап, который тоже не расписан в решении: под корнем получаеся скобка в квадрате, что позволяет нам избавиться и от оставшихся радикалов.

      

Второй момент. Вот здесь находится первый подводный камень в решении данного уравнения. Необходимо помнить, что подкоренное выражение у нас всегда неотрицательное, т.е. «больше или равно нулю». Это позволяет записать подкоренные выражения, используя определение модуля. Что мы и сделали. У нас вместо суммы двух корней получилась сумма двух двучленов «по модулю».

 

Многие ученики бояся уравнений с модулями. Поверьте, это только из-за недостатка практики. Здесь работает простое правило: чем больше решаешь, тем меньше боишься!

      

Итак, имеем сумму двух выражений по модулю. Первое выражение сразу же может быть раскрыто на том основании, что при замене переменных мы, избавившись от радикала: https://ege.sdamgia.ru/formula/28/2852f4e3d5ab9a57a51b4ded0854d68cp.png, понимаем, что выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Отсюда и условие, что https://ege.sdamgia.ru/formula/56/56832cb4139aa7ae45b302dc6f8123bbp.png. На этом основании мы доказали, что первое выражение «по модулю» будет всегда положительное. Так как «2+положительное число y» всегда будет положительным.

      

И третий момент. Второе выражение «по модулю». Это не так очевидно, как все предыдущее. Но посмотрите: выражение «y - 2» действительно меньше или равно нулю. Это кажется невероятным, но, согласно определению модуля, выражение под модулем действительно «меньше или равно нулю». Это условие позволяет нам понять, что значение «у» ограничено как «слева», так и «справа». Т.е «y» больше «0» - это ограничение «слева», и «y» меньше «2» - это и есть ограничение «справа».

 

На сегодня все. Желаю краcивых решений! И помните: математику проще полюбить, когда изучаешь её в приятной обстановке при помощи интересных заданий и креативных педагогов. Все это готова Вам предложить "Альфа-школа".
 
Автор: Андрей Найдёнов.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
Кубанский государственный университет
Проведенных занятий:
84
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ВПР и олимпиадам. Средний балл подготовки к ЕГЭ у моих учеников выше 70 баллов и нет тех, кто не сдал. Жду на занятиях.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Федерально государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по немецкому языку 2-8 классы. Немецкий язык - один из основных языков мира и самый распространённый язык в Европе. Меня привлёк немецкий язык своим произношением и легкостью в чтении. Но самая главная причина — знание немецкого открывает многие двери: обучение за границей, обмен, путешествия. Есть опыт работы как с малышами, так и со старшеклассниками. К каждому ученику нахожу индивидуальный подход. Для достижения наилучших результатов использую коммуникативную методику в обучении, интерактивные игры и инновационные материалы.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Челябинский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
1162
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике и информатике 5-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ (база). Математика - царица наук, замечательный "тренажер для ума". Решение задач требует не только умения считать, но и логически мыслить. В работе придерживаюсь личностно-ориентированного подхода. Считаю, что обучение имеет большую эффективность, когда есть возможность заниматься с ребенком индивидуально, учитывая его потребности и способности. Знаю много математических "секретиков" и готова ими поделиться.