Как решать логарифмические уравнения

Предлагаю разобрать уравнение, приведенное ниже. Это задание №13.

Итак,

 

Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/11/11b4f5783c890adc0ec8404fc202fc1bp.png

 

Решение

 

Заметим, что уравнение определено при любом https://ege.sdamgia.ru/formula/fd/fd3500a59568ee1c126a5e50c6bc8b91p.png 

Представим «1» как «логарифм два по основанию 2» и перенесем в правую часть.

В выражении, стоящем справа, проведем преобразования. Корень квадратный из двух представим как «2 в степени ½» и вынесем степень «1/2» за знак логарифма. При этом перевернем эту дробь и получим «2». Далее, используя свойства логарифма, внесем эту двойку под логарифм как квадрат  выражения, стоящего под знаком логарифма, что позволит избавиться от радикала. Разность логарифмов в правой части свернем, разделив первое выражение под логарифмом на двойку. Получим логарифмы «по основанию 2» в левой и правой частях, что позволит дальше вести ход решения, оперируя только выражениями, стоящими под знаком логарифма. Получаем биквадратное уравнение, которое решаем и раскладываем на две скобки.

 

Запишем ход решения:

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/17/17de42e9d3568e1bd26b8f769426789fp.png https://ege.sdamgia.ru/formula/db/db4e16a3ea48f1a58d53c420920e6ba4p.png

 

Значит, либо https://ege.sdamgia.ru/formula/bf/bfb7841975cef86e19a752bab2e13189p.png откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/82/8252d77bf5b096d504816a5094724abdp.png или https://ege.sdamgia.ru/formula/6a/6a07bb5c6107958cf940b06009461923p.png 

 

либо https://ege.sdamgia.ru/formula/66/665dc286904aaceb4abed7f0a82fbc1bp.png, откуда https://ege.sdamgia.ru/formula/14/141f54f0fd05751b8e76655870995e6ap.png или https://ege.sdamgia.ru/formula/86/86a067be8c9a94925a47603532cce49cp.png

 

Получаем четыре ответа. Ограничений на значения «х» мы не нашли, о чем упомянули вначале.

Поэтому все четыре корня являются решением данного уравнения.

 

Ответ:  https://ege.sdamgia.ru/formula/e2/e265840cebf14d2c464c7dd35ee69606p.png 

 
Автор: Андрей Найденов.
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Проведенных занятий:
10
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Ургенчский Государственный Университет УрГУ
Проведенных занятий:
3
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
Южный федеральный университет
Проведенных занятий:
633
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации