Как решать уравнения смешанного типа?

Андрей Алексеевич, один из ведущих математиков Альфа-школы и эксперт ЕГЭ, продолжает рассматривать задания профильного уровня. Тренируйтесь вместе с нами и сдавайте экзамен на самый высокий балл!

 

Задание №13

 

Условие:

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/8a/8a9455d7806ffe175ae51024023937ecp.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/70/700292a783b8ffe8c17792d1cc80c1d3p.png

Решение.

а) Решение уравнений смешанного типа сводиться к процедуре идентификации. Т.е. необходимо определить, какие типы уравнения в данном случае «мешали».

Как мы видим, это уравнение представляет собой показательное уравнение, степень которого является тригонометрической функцией.

 

Давайте преобразуем исходное уравнение. В левой части мы можем «15» представить в виде двух множителей: «3х5».

 

Затем воспользуемся свойством степени и, раскрыв скобки «(3х5) в степени «cos x», представим левую часть в виде произведения двух чисел в одинаковой степени. Теперь мы видим, что можем упростить это уравнение, разделив обе части на «3 в степени cos x». Уравнение станет намного проще.     Так как слева и справа мы получили одинаковое основание степени, мы можем перейти к уравнению показателей степени.

 

Получается «cos x = sin x». Разделим обе части на «cos x» и перейдем к функции «tg x». Получаем частный случай уравнения для тангенса. И сразу же записываем множество решений с периодом «Пк»

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/99/994fa6cddc677e935819245b570bf94ap.png

 

Первое задание выполнено. Далее:

 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/70/700292a783b8ffe8c17792d1cc80c1d3p.pngДля этого вращаем точку на нужное количество витков и отмечаем результат.

Получим числа: https://ege.sdamgia.ru/formula/73/73ca213ca57d9e867eb32e86cf5b0e26p.png

 

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/ce/cea6ee52dee31eee0356e26b5030e3d1p.png б) https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef7fa2dab603e308cfff523aa20b9037p.png

 

Вот мы и вспомнили, как решать уравнения смешанного типа. Занимайтесь математикой с удовольствием, обращайтесь за помощью только к опытным специалистам, не ленитесь, и тогда результат на ЕГЭ будет самый замечательный!

Автор: Андрей Найдёнов.
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
29
Образование:
Витебский государственный педагогический институт им. С.М. Кирова
Проведенных занятий:
802
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 классов. На своих уроках я применяю элементы современных образовательных технологий: здоровьесберегающие технологии, личностно-ориентированный подход, игровые технологии, технологии уровневых дифференциаций, проектное обучение, технологии проблемного обучения, также комбинирую несколько образовательных технологий в одном уроке. С радостью жду Вас на своих занятиях!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
36
Образование:
Чувашский государственный педагогический институт им. И.Я.Яковлева
Проведенных занятий:
178
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов по русскому языку и литературе. Люблю свой предмет и своих учеников. Мне всегда интересно показать своим ученикам что-то новое и интересное в своём предмете, помогать сделать трудное легким, непонятное понятным и научить искать информацию в огромном "море знаний". Всегда радуют успехи учеников, которые получают высокие баллы на ОГЭ и ЕГЭ. Могу научить вязать крючком.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
6
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку для 1-7 классов. Помогу освоить грамматику, аудирование, а также разговорную речь. В том числе разбор школьной программы и выполнение домашних заданий. Занятия проходят с использованием современной методики обучения. План каждого занятия разрабатывается индивидуально исходя из целей и текущего уровня ученика. В свой работе использую современные издания, видео и аудио материалы. Жду вас на своих занятиях.