Как решать уравнения смешанного типа?

Андрей Алексеевич, один из ведущих математиков Альфа-школы и эксперт ЕГЭ, продолжает рассматривать задания профильного уровня. Тренируйтесь вместе с нами и сдавайте экзамен на самый высокий балл!

 

Задание №13

 

Условие:

а) Решите уравнение https://ege.sdamgia.ru/formula/8a/8a9455d7806ffe175ae51024023937ecp.png

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/70/700292a783b8ffe8c17792d1cc80c1d3p.png

Решение.

а) Решение уравнений смешанного типа сводиться к процедуре идентификации. Т.е. необходимо определить, какие типы уравнения в данном случае «мешали».

Как мы видим, это уравнение представляет собой показательное уравнение, степень которого является тригонометрической функцией.

 

Давайте преобразуем исходное уравнение. В левой части мы можем «15» представить в виде двух множителей: «3х5».

 

Затем воспользуемся свойством степени и, раскрыв скобки «(3х5) в степени «cos x», представим левую часть в виде произведения двух чисел в одинаковой степени. Теперь мы видим, что можем упростить это уравнение, разделив обе части на «3 в степени cos x». Уравнение станет намного проще.     Так как слева и справа мы получили одинаковое основание степени, мы можем перейти к уравнению показателей степени.

 

Получается «cos x = sin x». Разделим обе части на «cos x» и перейдем к функции «tg x». Получаем частный случай уравнения для тангенса. И сразу же записываем множество решений с периодом «Пк»

 

https://ege.sdamgia.ru/formula/99/994fa6cddc677e935819245b570bf94ap.png

 

Первое задание выполнено. Далее:

 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку https://ege.sdamgia.ru/formula/70/700292a783b8ffe8c17792d1cc80c1d3p.pngДля этого вращаем точку на нужное количество витков и отмечаем результат.

Получим числа: https://ege.sdamgia.ru/formula/73/73ca213ca57d9e867eb32e86cf5b0e26p.png

 

Ответ: а) https://ege.sdamgia.ru/formula/ce/cea6ee52dee31eee0356e26b5030e3d1p.png б) https://ege.sdamgia.ru/formula/ef/ef7fa2dab603e308cfff523aa20b9037p.png

 

Вот мы и вспомнили, как решать уравнения смешанного типа. Занимайтесь математикой с удовольствием, обращайтесь за помощью только к опытным специалистам, не ленитесь, и тогда результат на ЕГЭ будет самый замечательный!

Автор: Андрей Найдёнов.
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
27
Образование:
Саратовский государственный университет
Проведенных занятий:
26
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
МФТИ
Проведенных занятий:
2905
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
22
Образование:
Астраханский педагогический университет
Проведенных занятий:
675
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы