img

Что такое логарифм?

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Краткая история логарифма

Логарифм имеет много применений в науке и инженерии.
 
Естественный логарифм имеет констант в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении. Двоичный логарифм использует базу и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале XVII века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления. Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в XVIII веке

Определение логарифма

Логарифмы - это показатель степени: в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма. Например, \(log_28 \) в какую степень надо возвести \(2\), чтобы получить \(8\) это  \(log_28 =3\).  
Логарифм по снованию 2
Читается, как логарифм \(8\) по основанию \(2\) равен \(3\).
Определение логарифма:
Определение логарифма
 \(log_ax=b\)       \(x=a^b\)
Очень важно помнить, где находится аргумент, а где основание
 
Если \(x=1\), то \(b\) равен \(o\), так как ненулевое число в нулевой степени всегда равно единице  \(x^0=1\), \(x\) не равно \(0\).
Некоторые логарифмы в результате получают иррациональное число, пример \(log_310\) результат будет лежать на промежутке: \(3^2 < 10< 3^3.\)

ОДЗ логарифма

ОДЗ (область допустимых значений) логарифма – это множество всех действительных чисел, для которых определена данная функция. Для логарифмической функции с основанием a ОДЗ определяется следующим образом:
 
x > 0 (если a > 1) или x < 0 (если 0 < a < 1)
 
То есть аргумент логарифма должен быть положительным, если основание больше 1, и отрицательным, если основание меньше 1.
 
Область допустимых значений логарифма - главное:
  • Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
  • Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
  • Число b может быть любым.
  • ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\).

Виды логарифмов

Существует два основных вида логарифмов: обычные (или десятичные) логарифмы и натуральные логарифмы.

  1. Обычный (десятичный) логарифм (log base 10): логарифм, основание которого равно 10. Обычный логарифм числа y обозначается как log(y) или lg(y) и определяется формулой:

log(y) = x, если 10^x = y

Например, log(100) = 2, так как 10^2 = 100.

  1. Натуральный логарифм (log base e): логарифм, основание которого равно числу e (приблизительно 2,71828). Натуральный логарифм числа y обозначается как ln(y) и определяется формулой:

ln(y) = x, если e^x = y

Например, ln(e) = 1, так как e^1 = e.

Обычные и натуральные логарифмы связаны друг с другом формулой:

log(y) = ln(y) / ln(10)

где ln(10) ≈ 2,3026.

Существуют также логарифмы с другими основаниями (например, логарифм по основанию 2), но они реже используются в практических расчетах.

Десятичные логарифмы

Десятичные логарифмы – логарифмы, в основании которых стоит \(10\). Пример \(log_{10}10 =1\),
Log10100 =2. Записывают их в виде \(lg 10 = 1\),  \(lg 100 = 2.\)
Десятичный логарифм

 

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\). Что означает \(e\)? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:
\(e = 2,718281828459...\)
\(ln x = log_e x\)
Натуральный логарифм

Часто задаваемые вопросы

Логарифмы широко применяются в различных областях математики, науки и инженерии для упрощения сложных вычислений, решения экспоненциальных задач, масштабирования данных и других приложений.

Одно из основных свойств логарифмов: \(log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y)\). То есть логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Естественный логарифм - это логарифм с основанием "e", где "e" - математическая константа, приближенное значение которой равно 2.71828. Он имеет особое значение в математике и науке.

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
36
Образование:
Балашовский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
105
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
20
Образование:
Пятигорский государственный педагогический институт иностранных языков
Проведенных занятий:
312
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Университет штата Аризона
Проведенных занятий:
1223
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)