Что такое логарифм?

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Краткая история логарифма
Определение логарифма
ОДЗ логарифма
Виды логарифмов
Десятичные логарифмы
Натуральный логарифм

Краткая история логарифма

Логарифм имеет много применений в науке и инженерии.

Естественный логарифм имеет констант в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении. Двоичный логарифм использует базу и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале XVII века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления. Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в XVIII веке

Определение логарифма

Логарифмы - это показатель степени: в какую степень надо возвести число, которое стоит в основании, чтобы получить число в выражении логарифма. Например, \(log_28 \) в какую степень надо возвести \(2\), чтобы получить \(8\) это \(log_28 =3\).

Читается, как логарифм \(8\) по основанию \(2\) равен \(3\).

Определение логарифма:

\(log_ax=b\) \(x=a^b\)

Очень важно помнить, где находится аргумент, а где основание

Если \(x=1\), то \(b\) равен \(o\), так как ненулевое число в нулевой степени всегда равно единице \(x^0=1\), \(x\) не равно \(0\).

Некоторые логарифмы в результате получают иррациональное число, пример \(log_310\) результат будет лежать на промежутке: \(3^2 < 10< 3^3.\)

ОДЗ логарифма

ОДЗ (область допустимых значений) логарифма – это множество всех действительных чисел, для которых определена данная функция. Для логарифмической функции с основанием a ОДЗ определяется следующим образом:

x > 0 (если a > 1) или x < 0 (если 0 < a < 1)

То есть аргумент логарифма должен быть положительным, если основание больше 1, и отрицательным, если основание меньше 1.

Область допустимых значений логарифма - главное:

Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
Число b может быть любым.
ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\).

Виды логарифмов

Существует два основных вида логарифмов: обычные (или десятичные) логарифмы и натуральные логарифмы.

Обычный (десятичный) логарифм (log base 10): логарифм, основание которого равно 10. Обычный логарифм числа y обозначается как log(y) или lg(y) и определяется формулой:

log(y) = x, если 10^x = y

Например, log(100) = 2, так как 10^2 = 100.

Натуральный логарифм (log base e): логарифм, основание которого равно числу e (приблизительно 2,71828). Натуральный логарифм числа y обозначается как ln(y) и определяется формулой:

ln(y) = x, если e^x = y

Например, ln(e) = 1, так как e^1 = e.

Обычные и натуральные логарифмы связаны друг с другом формулой:

log(y) = ln(y) / ln(10)

где ln(10) ≈ 2,3026.

Существуют также логарифмы с другими основаниями (например, логарифм по основанию 2), но они реже используются в практических расчетах.

Десятичные логарифмы

Десятичные логарифмы – логарифмы, в основании которых стоит \(10\). Пример \(log_{10}10 =1\),

Log₁₀100 =2. Записывают их в виде \(lg 10 = 1\), \(lg 100 = 2.\)

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\). Что означает \(e\)? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:

\(e = 2,718281828459...\)

\(ln x = log_e x\)