Задачи по планиметрии

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Условие:

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=\(1 \over 2\)DK

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

Решение

а) Построим треугольник и два квадрата, как требуется в условии задачи (рис.1). Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда точка M является точкой пересечения его диагоналей.

В треугольнике LAC:

∠LAC=180°-∠ACB=∠KCD

По построению, получается:

AL = BC = KC

AC = CD.

Тогда мы видим, что треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними.

Откуда LC = KD, а СМ:

CM=\(1\over 2\)LC=\(1\over 2\)KD

что и требовалось доказать.

б) Сделаем дополнительные построения. Соединим точки А и К. Проведем диагонали в квадратах. Пусть O₁ — центр квадрата CKFB. Тогда MO₁ — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.