Касательная к окружности. Точка касания окружности

Линии могут пересекать окружность в двух точках, они называются секущими, а некоторые линии могут вообще не пересекать окружность. Линии, которые пересекают окружность в одной точке называются касательными линиями или просто касательными к окружности из заданной точки.  Из одной точки  можно провести только две касательные:
Касательная к окружности
Рисунок выше показывает окружность с центром в точке \(O\) и точкой \(A\) вне окружности. Линии \(k, l, m \) и  \(n\)  выходят из точки \(A\) и пересекают окружность.
  • Линии \(k\) и \(l\) пересекают окружность в двух точках, и, следовательно, эти линии не являются секущими к окружности. 
  • Линии \(m\) и \(n\) касаются окружности только в одной точке, и поэтому каждая из этих линий называется касательной к окружности из точки A.
  • Любая линия, проведенная над касательной \(m\) или под касательной \(n\) не будет пересекать окружность.
Может существовать  бесконечное количество секущих к окружности из одной точки, но может существовать только две касательные к окружности из одной и той же точки.
 
Точка касания - это точка соприкосновения касательной линии с окружностью . На рисунке выше это точки \(Q \) и \(P\).
 
 
Выведем несколько важных понятий на эту тему. Рассмотрим рисунок выше: \(OP-\) это радиус, который соединяет центр окружности и точку касания \(P\). Возьмем другую точку \(S\) где-нибудь на касательной линии и свяжем ее также с центром окружности. Длина \(OS\)  больше \(RS\)\(OS\) равна \(OP + OS\), так как \(OR\) и \(OS\) являются радиусами одного круга. Следовательно, расстояние \(OP\) меньше, чем расстояние \(OS\), за исключением случаев, когда они совпадают. Согласно геометрическим данным радиус должен быть перпендикулярен касательной линии в точке касания.
 
Выводы:
  • кратчайший путь к касательной от центра окружности - это радиус окружности в точке касания;
  • радиус окружности, всегда находится под прямым углом к касательной в точке касания.
Далее рассмотрим треугольники \(OPA\) и \(OQA\)\(OA\) является общей стороной, разделяемой обоими треугольниками, \(OP\) и \(OQ-\)  радиусы и они равны, \(AP\)  и \(AQ\) также равны между собой. Следовательно, треугольники \(OPA\) и \(OQA\) равны между собой.
Касательная к окружности
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
117
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 классов и информатике 9 класса. Имею опыт работы подготовки к ОГЭ по математике и информатике. Важным в своей работе считаю изучение и учет личностных особенностей ребенка, независимо от его успеваемости. Люблю математику за то, что она придает мыслям логичность, ясность и точность, развивает критичность мышления, интуицию, тренирует силу воли и учит преодолевать трудности.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
Северо-Казахстанский государственный университет имени Козыбаева
Проведенных занятий:
99
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку 5-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Также репетитор по истории и обществознанию 5-11 классы, готовлю к ВПР/ОГЭ/ЕГЭ. Скорочтение для 5-11 классов. Я преподаю по авторской методике. Она включает в себя разные подходы и методы преподавания. Все мои ученики сдают выпускные экзамены .Всегда настраиваю на позитивное мышление, мотивирую на успех. Индивидуальный подход к каждому ученику.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Кубанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
1050
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Математика - это орудие, с помощью которого человек познает мир и покоряет его. На своих занятиях расставлю все ваши знания по полочкам. И тогда экзамены ОГЭ и ЕГЭ вы покорите сами. А я только помогу вам в этом