Касательная к окружности. Точка касания окружности

Линии могут пересекать окружность в двух точках, они называются секущими, а некоторые линии могут вообще не пересекать окружность. Линии, которые пересекают окружность в одной точке называются касательными линиями или просто касательными к окружности из заданной точки.  Из одной точки  можно провести только две касательные:
Касательная к окружности
Рисунок выше показывает окружность с центром в точке \(O\) и точкой \(A\) вне окружности. Линии \(k, l, m \) и  \(n\)  выходят из точки \(A\) и пересекают окружность.
  • Линии \(k\) и \(l\) пересекают окружность в двух точках, и, следовательно, эти линии не являются секущими к окружности. 
  • Линии \(m\) и \(n\) касаются окружности только в одной точке, и поэтому каждая из этих линий называется касательной к окружности из точки A.
  • Любая линия, проведенная над касательной \(m\) или под касательной \(n\) не будет пересекать окружность.
Может существовать  бесконечное количество секущих к окружности из одной точки, но может существовать только две касательные к окружности из одной и той же точки.
 
Точка касания - это точка соприкосновения касательной линии с окружностью . На рисунке выше это точки \(Q \) и \(P\).
 
 
Выведем несколько важных понятий на эту тему. Рассмотрим рисунок выше: \(OP-\) это радиус, который соединяет центр окружности и точку касания \(P\). Возьмем другую точку \(S\) где-нибудь на касательной линии и свяжем ее также с центром окружности. Длина \(OS\)  больше \(RS\)\(OS\) равна \(OP + OS\), так как \(OR\) и \(OS\) являются радиусами одного круга. Следовательно, расстояние \(OP\) меньше, чем расстояние \(OS\), за исключением случаев, когда они совпадают. Согласно геометрическим данным радиус должен быть перпендикулярен касательной линии в точке касания.
 
Выводы:
  • кратчайший путь к касательной от центра окружности - это радиус окружности в точке касания;
  • радиус окружности, всегда находится под прямым углом к касательной в точке касания.
Далее рассмотрим треугольники \(OPA\) и \(OQA\)\(OA\) является общей стороной, разделяемой обоими треугольниками, \(OP\) и \(OQ-\)  радиусы и они равны, \(AP\)  и \(AQ\) также равны между собой. Следовательно, треугольники \(OPA\) и \(OQA\) равны между собой.
Касательная к окружности
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
23
Образование:
Самаркандский Государственный университет
Проведенных занятий:
478
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку и литературе. Обучаю учеников 5-11 классов. Готовлю к сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к олимпиадам по русскому языку. При обучении русскому языку стараюсь найти индивидуальный подход. Перед собой ставлю задачу найти пробелы в знаниях учеников и устранить их. Уроки строю только на позитиве.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
32
Образование:
Ставропольский ордена Дружбы народов государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
53
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Работаю с учениками различного уровня знаний и способностей. Учитываю уровень подготовки и особенности мышления ученика. Использую любые учебники, рекомендованные и допущенные министерством образования по своему предмету. Помогаю разобраться в сути, заинтересовать, обрести уверенность в себе.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Петрозаводский государственный университет
Проведенных занятий:
240
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-11 классов. Считаю математику своим призванием. Имею большой опыт работы в школе, а также индивидуально с учениками разных возрастов, лично и онлайн, в России и за рубежом. Работаю по классической методике преподавания, с применением новых форм обучения.