Задачи с логарифмическими уравнениями и неравенствами

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Задача №1

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(γ\) = 3 моля воздуха объeмом V₁ = 8 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма «V₂». Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

А = αγТ·\(log_2\) \(V_1\over V_2 \)

Где:

α - постоянная, α = 5,75

Т - температура воздуха, Т = 300 К

Какой объeм «V₂» (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

Решение

Задача сводится к решению уравнения:

10350 = αγТ·\(log_2\) \(V_1\over V_2 \)

При заданных значениях постоянной, температуры воздуха, количества воздуха и объема воздуха, получим:

10350 = 5,75·3·300·log₂ \(V_1\over V_2 \) <=>

<=> 2 = log₂ \(8\over V_2 \) <=>

<=> \(8\over V_2 \) = 4 <=>

<=> V₂ = 2

Ответ: 2.

Задача №2

Водолазный колокол, содержащий \(γ\) = 3 моля воздуха при давлении р₁ = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления «р₂». Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

А = αγТ·log₂\(р_2\over р_1 \)

Где:

α - постоянная, α = 5,75

Т - температура воздуха, Т = 300 К

Найдите, какое давление «р₂» (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:

6900 \(≥\) αγТ·log₂\(р_2\over р_1 \)

При заданных значениях постоянной, температуры воздуха, начального давления и количества воздуха, получаем:

6900 \(≥ \) 5,75·3·300·log₂\(р_2\over р_1 \) <=>

<=> log₂\(р_2\over р_1 \) \(≤\) 2 <=>

<=> \(р_2\over 1,5\) \(≤\) 4 <=>