Задачи с логарифмическими уравнениями и неравенствами

 
Задача №1
 
Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(γ\) = 3 моля воздуха объeмом V1 = 8 л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма «V2». Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:
 
А = αγТ·\(log_2\) \(V_1\over V_2 \)
Где:
α - постоянная, α = 5,75
Т - температура воздуха, Т = 300 К
 
Какой объeм «V2» (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?
 
Решение
 
Задача сводится к решению уравнения:
 
10350 = αγТ·\(log_2\) \(V_1\over V_2 \)
 
При заданных значениях постоянной, температуры воздуха, количества воздуха и объема воздуха, получим:
 
10350 = 5,75·3·300·log2 \(V_1\over V_2 \)  <=>
 
<=>  2 = log2 \(8\over V_2 \)   <=>
 
<=>  \(8\over V_2 \)  = 4   <=>
 
<=>   V2 = 2
 
Ответ: 2.
 

Задача №2
 
Водолазный колокол, содержащий \(γ\) = 3 моля воздуха при давлении р1 = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления «р2». Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:
 
А = αγТ·log\(р_2\over р_1 \)
 
Где:
α - постоянная, α = 5,75
Т - температура воздуха, Т = 300 К
 
Найдите, какое давление «р2» (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
 
Решение
 
Задача сводится к решению неравенства:
 
6900 \(≥\) αγТ·log2\(р_2\over р_1 \)
 
При заданных значениях постоянной, температуры воздуха, начального давления и количества воздуха, получаем:
 
6900 \(≥ \) 5,75·3·300·log2\(р_2\over р_1 \)   <=>
 
<=>   log2\(р_2\over р_1 \) \(≤\)  2   <=>
 
<=>   \(р_2\over 1,5\)  \(≤\) 4   <=>
 
<=>  р2 \(≤\) 6
 
Ответ: 6.
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Уральский государственный университет им. А.М.Горького
Проведенных занятий:
468
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Тюменский государственный университет
Проведенных занятий:
9
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
1164
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации