img

ЕГЭ по математике, профильный уровень. Неравенства

21 апр 2024

ЕГЭ по математике, профильный уровень. Неравенства

Условие:
 
Решите неравенство
Решение
 
В этом неравенстве видим, что основания логарифмов разные. Однако второе основание можно преобразовать по формуле сокращенного умножения и получить выражение, идентичное выражению первого логарифма. Этим обстоятельством мы воспользуемся, чтобы сделать преобразования.
 
 
Далее найдем ОДЗ этого выражения:
 
 
Отметим точки на числовой оси и найдем ОДЗ:
 
 
Продолжим преобразования неравенства, чтобы еще более упростить его. Представим «49 = 72», а радикал заменим степенью:
 
 
Используя свойства логарифмов, запишем:
 
 
Далее умножим обе части неравенства на «2»:
 
 
Чтобы привести логарифмы к одному основанию, также воспользуемся их свойствами и разделим второй логарифм на «1»:
 
 
Далее преобразуем:
 
 
А теперь сделаем замену переменных:
 
 
Такая замена переменных позволит нам записать:
 
 
Умножим обе части уравнения на «2»:
 
 
Перенесем «-3» в левую часть:
 
 
Далее найдем общий знаменатель:
 
 
Решим числитель как квадратное уравнение, найдем корни, учитывая, что a ≠ 0
 
Получаем два корня:
 
 
Зная корни, разложим числитель на множители:
 
 
Найдем на числовой оси знаки на промежутках:
 
 
Продолжим, сделаем обратную замену переменных и найдем корни:
 
 
Отметим эти точки на числовой оси и обозначим интервалы, являющиеся решением:
 
 
Обязательно совместим этот результат с выводами по определению ОДЗ, полученные вначале, также отметив их на числовой оси:
 
Совместим полученные интервалы и запишем окончательный ответ:
 
 
 
 
 

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи