ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на числовые ряды и прогрессии

 
Задача №1
 
Саша решил начать свой путь к финансовой свободе и в начале 2010 года открыл вклад в банке под 10% годовых, который пополняет в начале каждого года, начиная с 2010-го, на 10 000 рублей. Паше очень понравилась эта идея, и в начале 2020 года он открыл вклад в другом банке под 21% годовых, который пополняет в начале каждого года, начиная с 2020-го, на 21 000 рублей. В начале какого года после очередного пополнения суммы на счетах Саши и Паши сравняются? (Считайте, что округления при вычислении суммы на счетах не производятся.)
Решение
 
Исходя из условия задачи, запишем алгоритм, по которому идет наращивание сумм на счетах.
Саша начал инвестировать с суммы в 10 000 руб, запишем в виде таблицы:
 
Год                Сумма в начале года  + Проценты в конце года   = Итого
2010 год       10 000                           + 10 000 · 0,1                      =     А
2011 год        А + 10 000                    + (А + 10 000) · 0,1             =     В
2012 год        В + 10 000                    + (В + 10 000) · 0,1             =     С
И т.д.
 
Несложно вычислить, что в конце 2028 года у Саши на счете будет сумма:
 
562749,88 руб
 
А в начале 2029 года, после пополнения счета на 10 000 руб, получится:
 
572749,88 руб
 
Таким же образом составим алгоритм для Паши.
Саша начал инвестировать с суммы в 21 000 руб, запишем в виде таблицы:
 
Год                   Сумма в начале года  + Проценты в конце года   =    Итого
2020 год           21 000                          + 20 000 · 0,21                    =      Р
2021 год           Р + 21 000                    + (Р + 21 000) · 0,21           =      Т
2022 год           Т + 21 000                    + (Т + 21 000) · 0,21            =     М
И т.д.
 
Несложно вычислить, что в конце 2028 года у Паши на счете будет сумма:
 
551749,94
 
А в начале 2029 года, после пополнения счета на 21 000 руб, получится:
 
572749,94 руб
 
Таким образом, начале 2029 года после очередного пополнения суммы на счетах Саши и Паши сравняются.
 
Ответ: 2029
 

Задача № 2
 
Одиннадцатиклассник Иван твёрдо решил поступить на математический факультет любимого вуза. Иван пообещал себе, что даже если не сдаст ЕГЭ на необходимый балл, то и дальше каждый год будет сдавать ЕГЭ до тех пор, пока не сможет поступить. Иван прекрасно понимает, что шанс поступить сразу после окончания школы равен 0,7, а в каждый последующий год вероятность успешного поступления будет равна 0,4. Какое наименьшее число попыток сдачи экзаменов потребуется для того, чтобы вероятность поступления в любимый вуз была не менее 99%?

Решение
 
Процесс, в котором Иван будет несколько лет подряд поступать в вуз, мы можем определить как совместные события. Ему необходимо сделать несколько попыток, чтобы вероятность наступления события стала не менее 0,99.
 
Согласно теореме о сложении вероятностей совместных событий, чтобы найти вероятность суммы совместных событий, необходимо воспользоваться формулой:
 
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В)
 
Запишем вероятность успешного поступления в хронологическом порядке, по годам:
 
1-й год: 0,7
2-й год: 0,7 + 0,4 – 0,7 · 0,4 = 0,82
3-й год: 0,82 + 0,4 – 0,82 · 0,4 = 0,892
4-й год: 0,892 + 0,4 – 0,892 · 0,4 = 0,9352
5-й год: 0,9352 + 0,4 – 0,9352 · 0,4 = 0,9544
6-й год: 0,9544 + 0,4 – 0,9544 · 0,4 = 0,97264
7-й год: 0,97264 + 0,4 – 0,97264 · 0,4 = 0,98554
8-й год: 0,98554 + 0,4 – 0,98554 · 0,4 = 0,99553
 
Таким образом, совершив 8 попыток, Иван достигнет вероятности поступления более 0,99 или 99%
 
Ответ: 8
 

Задача № 3
 
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
 
Решение
 
Пусть бригада в первый день покрасила «а1» метров забора, во второй — «а2», в последний — «аn» метров забора.
 
Тогда:
а1 + аn = 60 метров
 
за «n» дней было покрашено:
 
Sn =  · n = 30n   метров забора
 
Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:
 
30n = 240
 
n = 8
 
Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.
 
Ответ: 8.
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
БГПУ им. Танка
Проведенных занятий:
1981
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов. Математика сложна, но интересна и увлекательна! При обучении настраиваю на позитивное восприятие всего нового и непонятного и впоследствии мои ученики испытывают радость новых открытий в этом удивительном мире цифр и знаков.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Тобольская государственная социально-педагогическая академия
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку 9-11 классы. Подготовка к ОГЭ/ЕГЭ. Работаю по своей авторской методике, основанной на знании возрастной психологии. Многолетний опыт индивидуальной работы с учениками разных возрастов показал, что "необучаемых" детей почти не бывает! Язык дает мне возможность понимать и принимать культуру, менталитет разных стран, расширяет кругозор, помогает посмотреть на ситуацию с разных точек зрения. Уроки проходят в формате живого общения и постоянного психо-эмоциального контакта с учащимися. Избегаю "технического" метода в обучении (зубрежки, знания без умений, буквального оценивания) Более десятка учеников разных возрастов смогли повысить успеваемость в школе, чувствовать себя уверенно на уроках, стали лучше понимать грамматику и иностранную речь, ученикам выпускных классов за короткие сроки удалось сдать ОГЭ и ЕГЭ на высокие баллы, несмотря на то, что за "пробники" в школе баллы были очень низкие.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
Уральский государственный педагогический университет
Проведенных занятий:
209
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии 8-11 классов. Готовлю к ЕГЭ и ОГЭ по химии. Просто повышаю уровень знаний по химии. Объясняю простым и доступным языком. Даю прочные и необходимые знания для успешной сдачи экзаменов. Люблю химию за уникальность и исключительность. Могу заниматься бесконечно решением задач, составлением химических уравнений, выявлением закономерностей. Репетитор по математике 1-9 класс. Занимаюсь подготовкой к ОГЭ. Люблю математику за точность, рациональность и развитие логического мышления. Объясняю простым и доступным языком. Учу ребят рассуждать, говорить, мыслить и анализировать. Даю детям прочные знания. С любовью отношусь к своему делу и прививаю любовь к обучению детям.

Репетитор по математике (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Векторы

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие