ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на числовые ряды и прогрессии

Все Родителям Саморазвитие для школьников Подготовка Преподавателям Профориентация Отношения с родителями Советы психолога Здоровье Таймменеджмент Калькуляторы

25 сен 2024

ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на числовые ряды и прогрессии

Задача №1

Саша решил начать свой путь к финансовой свободе и в начале 2010 года открыл вклад в банке под 10% годовых, который пополняет в начале каждого года, начиная с 2010-го, на 10 000 рублей. Паше очень понравилась эта идея, и в начале 2020 года он открыл вклад в другом банке под 21% годовых, который пополняет в начале каждого года, начиная с 2020-го, на 21 000 рублей. В начале какого года после очередного пополнения суммы на счетах Саши и Паши сравняются? (Считайте, что округления при вычислении суммы на счетах не производятся.)

Решение

Исходя из условия задачи, запишем алгоритм, по которому идет наращивание сумм на счетах.

Саша начал инвестировать с суммы в 10 000 руб, запишем в виде таблицы:

Год Сумма в начале года + Проценты в конце года = Итого

2010 год 10 000 + 10 000 · 0,1 = А

2011 год А + 10 000 + (А + 10 000) · 0,1 = В

2012 год В + 10 000 + (В + 10 000) · 0,1 = С

И т.д.

Несложно вычислить, что в конце 2028 года у Саши на счете будет сумма:

562749,88 руб

А в начале 2029 года, после пополнения счета на 10 000 руб, получится:

572749,88 руб

Таким же образом составим алгоритм для Паши.

Саша начал инвестировать с суммы в 21 000 руб, запишем в виде таблицы:

Год Сумма в начале года + Проценты в конце года = Итого

2020 год 21 000 + 20 000 · 0,21 = Р

2021 год Р + 21 000 + (Р + 21 000) · 0,21 = Т

2022 год Т + 21 000 + (Т + 21 000) · 0,21 = М

И т.д.

Несложно вычислить, что в конце 2028 года у Паши на счете будет сумма:

551749,94

А в начале 2029 года, после пополнения счета на 21 000 руб, получится:

572749,94 руб

Таким образом, начале 2029 года после очередного пополнения суммы на счетах Саши и Паши сравняются.

Ответ: 2029

Задача № 2

Одиннадцатиклассник Иван твёрдо решил поступить на математический факультет любимого вуза. Иван пообещал себе, что даже если не сдаст ЕГЭ на необходимый балл, то и дальше каждый год будет сдавать ЕГЭ до тех пор, пока не сможет поступить. Иван прекрасно понимает, что шанс поступить сразу после окончания школы равен 0,7, а в каждый последующий год вероятность успешного поступления будет равна 0,4. Какое наименьшее число попыток сдачи экзаменов потребуется для того, чтобы вероятность поступления в любимый вуз была не менее 99%?

Решение

Процесс, в котором Иван будет несколько лет подряд поступать в вуз, мы можем определить как совместные события. Ему необходимо сделать несколько попыток, чтобы вероятность наступления события стала не менее 0,99.

Согласно теореме о сложении вероятностей совместных событий, чтобы найти вероятность суммы совместных событий, необходимо воспользоваться формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В)

Запишем вероятность успешного поступления в хронологическом порядке, по годам:

1-й год: 0,7

2-й год: 0,7 + 0,4 – 0,7 · 0,4 = 0,82

3-й год: 0,82 + 0,4 – 0,82 · 0,4 = 0,892

4-й год: 0,892 + 0,4 – 0,892 · 0,4 = 0,9352

5-й год: 0,9352 + 0,4 – 0,9352 · 0,4 = 0,9544

6-й год: 0,9544 + 0,4 – 0,9544 · 0,4 = 0,97264

7-й год: 0,97264 + 0,4 – 0,97264 · 0,4 = 0,98554

8-й год: 0,98554 + 0,4 – 0,98554 · 0,4 = 0,99553

Таким образом, совершив 8 попыток, Иван достигнет вероятности поступления более 0,99 или 99%

Ответ: 8

Задача № 3

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение

Пусть бригада в первый день покрасила «а₁» метров забора, во второй — «а₂», в последний — «а_n» метров забора.

Тогда:

а₁ + а_n = 60 метров

за «n» дней было покрашено:

S_n = · n = 30n метров забора

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:

30n = 240

n = 8

Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8.

Предыдущая статья