ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на числовые ряды и прогрессии

 
Задача №1
 
Про трёхзначное число А известно следующее: 
сумма цифр числа А равна 8; 
сумма квадратов цифр числа А равна 24;
если цифры числа А записать в обратном порядке, то получится число, которое на 198 меньше, чем число А.
Найдите А.
 
Решение
 
Введем обозначения
 
Пусть:
 
А = авс
 
Число «авс» можно записать в виде:
 
авс = 100а · 10в · с
 
Число с цифрами в обратном порядке «сва» можно записать в виде:
 
сва = 100с · 10в · а
 
Тогда, согласно условия, составим систему уравнений:
 
а + в + с = 8
 
а2 + в2 + с2 = 24
 
100а · 10в · с = 100с · 10в · а + 198
 
Решим полученную систему уравнений методом подбора, получим:
 
а = 4
в = 2
с = 2
 
Получаем:
 
А = 422
 
Ответ: 422
 

Задача № 2
 
В отеле 14 двухместных номеров и 4 трёхместных номера. В каждом из заселённых номеров нет свободных мест. Всего в гостинице проживает 21 человек. Выберите утверждения, которые обязательно верны при указанных условиях.
 
1) Ни один трёхместный номер не заселен.
2) Заселён ровно один трёхместный номер.
3) Восемь двухместных номеров не заселены.
4) Заселено нечётное число трёхместных номеров.
Решение
 
Определим, сколько комбинаций может быть при имеющихся условиях.
 
Примем:
х – количество заселенных двухместных номеров
у - количество заселенных трехместных номеров
 
Тогда количество проживающих мы сможем выразить формулой:
 
2х + 3у = 21
 
Решая это уравнение с двумя неизвестными методом подстановки, находим три варианта:
 
1) х = 3; у = 5
2) х = 6; у = 3
3) х = 9; у = 1
 
Первый вариант не подходит, так как по условию, в отеле только 4 трехместных номера.
 
Исследуем предложенные утверждения:
 
1) Ни один трёхместный номер не заселен.
Так как проживает нечетное количество человек, то расселить их по двухместным номерам без свободных мест не получится. Утверждение неверно.
 
2) Заселён ровно один трёхместный номер.
Есть еще один вариант расселения, где заселены три трехместных номера. Утверждение неверно.
 
3) Восемь двухместных номеров не заселены.
Есть еще один вариант расселения, где не заселены пять двухместных номеров. Утверждение неверно. 
 
4) Заселено нечётное число трёхместных номеров. Утверждение верно.
 
Ответ: верно утверждение 4.
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
38
Образование:
Армавирский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
28
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
261
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
3
Образование:
Кубанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
297
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы