ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на числовые ряды и прогрессии

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Задача №1

Про трёхзначное число А известно следующее:

сумма цифр числа А равна 8;

сумма квадратов цифр числа А равна 24;

если цифры числа А записать в обратном порядке, то получится число, которое на 198 меньше, чем число А.

Найдите А.

Решение

Введем обозначения

Пусть:

А = авс

Число «авс» можно записать в виде:

авс = 100а · 10в · с

Число с цифрами в обратном порядке «сва» можно записать в виде:

сва = 100с · 10в · а

Тогда, согласно условия, составим систему уравнений:

а + в + с = 8

а² + в² + с² = 24

100а · 10в · с = 100с · 10в · а + 198

Решим полученную систему уравнений методом подбора, получим:

а = 4

в = 2

с = 2

Получаем:

А = 422

Ответ: 422

Задача № 2

В отеле 14 двухместных номеров и 4 трёхместных номера. В каждом из заселённых номеров нет свободных мест. Всего в гостинице проживает 21 человек. Выберите утверждения, которые обязательно верны при указанных условиях.

1) Ни один трёхместный номер не заселен.

2) Заселён ровно один трёхместный номер.

3) Восемь двухместных номеров не заселены.

4) Заселено нечётное число трёхместных номеров.

Решение

Определим, сколько комбинаций может быть при имеющихся условиях.

Примем:

х – количество заселенных двухместных номеров

у - количество заселенных трехместных номеров

Тогда количество проживающих мы сможем выразить формулой:

2х + 3у = 21

Решая это уравнение с двумя неизвестными методом подстановки, находим три варианта:

1) х = 3; у = 5

2) х = 6; у = 3

3) х = 9; у = 1

Первый вариант не подходит, так как по условию, в отеле только 4 трехместных номера.