img

ЕГЭ по математике, профильный уровень. Показательные уравнения

28 дек 2024

ЕГЭ по математике, профильный уровень. Показательные уравнения

Как научиться решать уравнения? На самом деле все не так страшно, как кажется многим школьникам. Прежде всего, нужно знать алгоритмы решения типовых заданий. Именно с этой целью мы размещаем в блоге подробные решения реальных заданий из ЕГЭ прошлых лет. 
 
 
Условие:
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].
 
Решение:
а) Обратите внимание, что показатели степени у первого и второго слагаемых совпадают, а показатель степени у третьего слагаемого почти совпадает с предыдущими. Преобразуем уравнение так, чтобы и третий показатель степени стал трехчленом, как первый и второй:
 
Теперь займемся преобразованием оснований степени так, чтобы было удобно найти корни. Для этого приведем это уравнение к квадратному, оставив третье слагаемое как свободный член:
 
Итак, мы получили два уравнения. Мы видим, что у второго уравнения решений нет, так как правая часть с минусом. Это упрощает дальнейшее решение.
 
Мы преобразуем первое уравнение к виду, используя стандартные шаги при решении показательного уравнения:
\(x^2-3x+1=0\) 
Откуда, после нахождения дискриминанта, получим два корня:
\({x}={{3±\sqrt5}\over2}\)
б) Для ответа на второй вопрос оценим \(\sqrt5\) целыми числами:
\(2<\sqrt5<3\) 
Тогда получим, что:
     
Отсюда видно, что отрезку [-1;2]   принадлежит только корень: \({x}={{3-\sqrt5}\over2}\)   
 
Ответ: а)  \({{3±\sqrt5}\over2}\)  б)  \({{3-\sqrt5}\over2}\)
 
Автор - Андрей Найденов

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

line gift

Похожие статьи