Теорема Пифагора

Все Родителям Саморазвитие для школьников Подготовка Преподавателям Профориентация Отношения с родителями Советы психолога Здоровье Таймменеджмент Калькуляторы

Немного истории
Определение теоремы Пифагора
Формула теоремы Пифагора
Теорема Пифагора: задачи
Часто задаваемые вопросы:

Обновлено: 27 мар 2024

Теорема Пифагора

Немного истории

Теорема Пифагора была одной из самых ранних теорем, известных древним цивилизациям. Ее назвали в честь греческого математика и философа Пифагора. Пифагор основал математическую школу Пифагора в Кортоне, греческом морском порту на юге Италии. Ему приписывают много достижений в математике, хотя некоторые из них, возможно, на самом деле были работой его студентов.

Теорема Пифагора является самым известным математическим вкладом Пифагора. Согласно легенде, Пифагор был так счастлив, когда открыл теорему, что предложил волов в качестве жертвоприношения. Позднее открытие, что квадратный корень из 2 является иррациональным и, следовательно, не может быть выражено как отношение двух целых чисел, сильно беспокоило Пифагор и его последователей. Они были набожны в своем убеждении, что любые две длины являются целыми кратными некоторой единичной длине. Предпринимали попытки подавить знание о том, что квадратный корень из 2 иррационален. Говорят даже, что человек, разглашавший тайну, утонул в море.

Определение теоремы Пифагора

Если у треугольника есть угол 90 градусов, то треугольник прямоугольный. Сторона напротив прямого угла зовется гипотенузой, две другие называются катетами.

Формула теоремы Пифагора

Теорема Пифагора — это формула, связывающая длины трех сторон прямоугольного треугольника.

Если мы возьмем длину гипотенузы c и длину катет a и b, то:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Примечание: теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников.

Для треугольника со сторонами a, b и c и c самая длинная сторона тогда:

если \(c^2 < a^2 + b^2\), то это остроугольный треугольник, т. е. угол, обращенный к стороне c, является острым углом.
если \(c^2 = a^2 + b^2\), то это прямоугольный треугольник, т. е. угол, обращенный к стороне c, является прямым углом.
если \(c^2> a^2 + b^2\), то это тупоугольный треугольник, т. е. угол, обращенный к стороне c, является тупым углом.

Доказательство теоремы Пифагора

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.

Сложим полученные равенства:
a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора (доказательство)

Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.
Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
A₁B₁ = AB по доказанному результату.
Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Теорема Пифагора: задачи

А теперь немного потренируемся.

Задача 1:

Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AB = 10 см и катетом AC = 6 см. Найдите длину второго катета.

Решение: В данной задаче нам нужно найти длину катета BC, используя теорему Пифагора:

\(BC^2 = AB^2 - AC^2\)

Подставляем известные значения:

\(BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\)

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

BC = √64 = 8

Таким образом, длина второго катета равна 8 см.

Задача 2:

Квадрат со стороной 5 см разрезан по диагонали на два прямоугольных треугольника. Найдите площадь каждого треугольника.

Решение: По теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна корню из суммы квадратов катетов. Так как квадрат со стороной 5 см имеет две диагонали, то мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника, где каждый из них будет иметь стороны 3-4-5 см. Площадь каждого треугольника равна половине произведения катетов:

S = 1/2 * 3 см * 4 см = 6 кв.см

Таким образом, площадь каждого треугольника равна 6 кв.см.

Часто задаваемые вопросы:

✅ Что такое теорема Пифагора?

↪ Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

✅ Кто открыл теорему Пифагора?

↪ Теорему Пифагора назвали в честь древнегреческого математика Пифагора, однако ее открытие приписывают не только ему, а также египтянам, индийцам и вавилонянам.

✅ В каких геометрических фигурах можно использовать теорему Пифагора?

↪ Теорема Пифагора может быть применена только в прямоугольных треугольниках. Однако она может быть использована для решения различных задач в разных областях, таких как геометрия, физика, инженерия и т.д.

Предыдущая статья