Скалярное произведение векторов

Векторы - это величины, которые  описываются как величиной, так и направлением.
 
Скалярное произведение \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) определяется как
\( \overline{a }· \overline{b }\) \(= |a| |b|· ∠ (\overline{a }\overline{b })\)
где \(| a |-\) модуль, или величина \( a\),
\(| b |-\) модуль \(b\), 
\(∠ (\overline{a }\overline{b })\)-угол между \(a\) и \(b\):
Скалярное произведение
Если два вектора сонаправены,  то \( ∠cos (\overline{a }\overline{b })= ∠cos \;0=1\) скалярное произведение равно \( \overline{a }· \overline{b }\)\(=​​\)\( \overline{|a| }· \overline{|b| }\).
 
Пример 1. Рассмотрим два вектора \( \overline{a }\)  и  \( \overline{b }\) модуль \( \overline{a }\)  равен \(4\), а \( \overline{b }\) равен \(5\), а угол между ними равен \(60◦\). Найдите скалярное  произведение \( \overline{a }· \overline{b }\).
Решение:  \( 4 × 5 × cos 60◦ = 4 × 5 ×\frac{1}{2}= 10 \).
Ответ: \(10\).
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\)  меньше \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(0<∠ (\overline{a }\overline{b })<\frac{\pi}{2}\), то результат скалярного произведения будет больше \(0\) ,  то есть положительным.
 
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) больше  \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(\frac{\pi}{2}<∠ (\overline{a }\overline{b })<\pi\) , то результат скалярного произведения будет меньше  \(0\) , то есть отрицательным.
 
  • Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) равен  \(90◦\), то результат скалярного произведения будет равен  \(0\), так как \(cos\frac{\pi}{2}=0\).
         
Пример 2. Даны два вектора \( \overline{с }= -2\overline{a }+\overline{b }\) и \(\overline{d }=\overline{a }-\overline{b }\) , \(\overline{|a| }=4\sqrt{3}\) и \(\overline{|b| }=8\). Найти их скалярное произведение, если угол между ними равен \(45◦\).
Решение : Найдем произведение:  \((-2\overline{a }+\overline{b })(\overline{a }-\overline{b })=-2\overline{a }*\overline{a }+\overline{b }*\overline{a } +2\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }*\overline{b }=-2\overline{a }^2+\overline{a }*\overline{b }+2\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }^2=-2\overline{a }^2+3\overline{a }*\overline{b }-\overline{b }^2\)
Подставим угол \(45◦\)  и значения:  \(-2\overline{a }^2+3\overline{a }*\overline{b }* cos∠(\overline{a }\overline{b })-\overline{b }^2=-2*(4\sqrt{3})^2+3*4\sqrt{3}*8*cos∠45-8^2=-64+96\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-64=32\).
Ответ: \(32\).
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Ольга Викторовна Пятаева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
33
Образование:
Ташкентский ордена Дружбы народов гос. педагогический институт
Проведенных занятий:
392
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 5-9 класса. Математику, я люблю за то, что это стройная система с четкими правилами. Которая охватывает огромное количество других наук, учит мыслить критически, закаляет характер, математика всегда пригодится в быту и приводит ум в порядок. Большой опыт по подготовке к ОГЭ, ВПР и другим диагностическим работам по математике. Мои ученики - активные участники различных конкурсов, олимпиад, (Всероссийская олимпиада школьников, "Кенгуру", и т.д.), но не только участники, но и победители и призёры. К каждому учащемуся стараюсь найти индивидуальный подход, в занятиях ориентируюсь на интересы ребенка и помогаю полюбить математику, показывая, как и где её можно применять в жизни. Создаю ситуацию успеха с учеником. Также есть опыт работы с детьми с особенностями развития. Мои достижения в преподавательской деятельности - это успехи моих учеников. Это и высокие баллы на экзаменах (от 60 и выше), экзамены пишем без двоек.
Светлана Николаевна Комашко
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
15
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку для 1-7 классов. Помогу освоить грамматику, аудирование, а также разговорную речь. В том числе разбор школьной программы и выполнение домашних заданий. Занятия проходят с использованием современной методики обучения. План каждого занятия разрабатывается индивидуально исходя из целей и текущего уровня ученика. В свой работе использую современные издания, видео и аудио материалы. Жду вас на своих занятиях.
Ирина Владимировна Милёшина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Куйбышевский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
367
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Учитель высшей категории. Имею большой опыт преподавания в школе. Активно использую проблемно-поисковый метод обучения. На каждом занятии создаю ситуацию успеха. Объясняю материал доступно и легко. На занятиях мы сможем успешно "подтянуть" материал и подготовиться к контрольным и экзаменам.
Похожие статьи