Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
Свойства интеграла с переменным верхним пределом (непрерывность, дифференцируемость). Формула Ньютона-Лейбница
Обновлено: 10 янв 2024
Свойства интеграла с переменным верхним пределом (непрерывность, дифференцируемость). Формула Ньютона-Лейбница
Пусть ƒ интегрируема на [a,b]. Тогда на [a,b] определена функция
![](/common/upload/ckeditor/185-d733e10a43f32171d5dd69a479420b0a.png)
называемая интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Пусть ƒ интегрируема на [a,b]. Тогда функция F непрерывна на [a,b].
.
Доказательство. Пусть
![](/common/upload/ckeditor/192-a3d98dbe663baa8529c42390354ce260.png)
Тогда
![](/common/upload/ckeditor/192-074118ee06b7fac057a5150f3d8c2bbb.png)
Функция ƒ ограничена на [a,b] (поскольку она интегрируема), так что при некотором M
![](/common/upload/ckeditor/137-a311a1cdd6cfb6d319f8d71457562a7b.png)
Следовательно
![](/common/upload/ckeditor/907-f80c91c1290a1af0eeb03ad5fb880c52.png)
что и требовалось показать.
Теорема 2. Пусть функция ƒ интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке ![](/common/upload/ckeditor/602-c60a95282221d93ae3db9aff225c7460.png)
![](/common/upload/ckeditor/602-c60a95282221d93ae3db9aff225c7460.png)
Тогда функция F(x) имеет производную в точке x0 и
![](/common/upload/ckeditor/747-2a89de43afe773218410fe6fcb196a00.png)
![](/common/upload/ckeditor/178-27f213d7638b8a3be9c877beec4c91ee.png)
![](/common/upload/ckeditor/711-4af232d2195c028abe65efaa3c64778a.png)
![](/common/upload/ckeditor/459-0288fd2dab55db9b0ff54e6e6bcb5065.png)
![](/common/upload/ckeditor/962-5308ed8e48267c88ad0c356dea2d3eef.png)
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Подготовка к ОГЭ по математике
-
Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
-
Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
-
Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
-
ВПР по математике
-
Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ
-
Программирование Pascal