О чем важно помнить, чтобы решать уравнения без труда

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. Пригодится при повторении изученных тем и подготовки к экзаменам.
Начнем с самого простого: линейные уравнения типа: \(ax=b\)
Казалось бы, ничего сложного,  решение: \(x={b\over a}\).                                                                            
Но если мы рассмотрим уравнение, где \(a=0\) , а - любое число, например 3, то получим: \(0x=3\), т.е. получим уравнение, которое не имеет решения, так как на 0 делить нельзя.            
Теперь пусть \(a=3\), \(b=0\), тогда решение уравнения \(3x=0\)  \(X=0\).                                                        
Если же \(a=0\) и \(b=0\), то уравнение примет вид \(0x=0\).  И вот в этом-то уравнении ученики делают ошибки, пишут ответ \(x=0\). А ведь произведение двух чисел равно нулю, если один из множителей равен нулю, не обязательно оба множителя. Значит, x - может быть любым числом.
Рассмотрим это правило на более сложном примере: \({2\over 6x+1}+{3 \over 6x-1}={30x+9\over 36x^2-1 }\)
Это дробно-рациональное уравнение, о решении которые мы разговаривали с вами в прошлой статье.
Укажем ОДЗ (область допустимых значений):
\(6x+1≠0 \)       
\(6x-1≠0 \)   
\(36x^2-1≠0\)      
так как \(36x^2-1=(6x-1)(6x+1)\), то можно решить первые два выражения, из них получаем: \(x≠{1\over 6} \) и \(x≠-{1\over 6}\)
Теперь дробь справа переносим влево, не забываем менять знак выражения, и все выражение справа записываем в виде одной дроби:
 \({2 \over 6x+1}+{3 \over 6x-1}-{30x+9\over 36x^2-1}=0\)
\({2(6x-1)+3(6x+1)\over (6x+1)(6x-1)} -{30x+9\over 36x^2-1}=0\)
\({12x-1+18x+3\over 36x^2-1}-{30x+9\over 36x^2-1}=0\)
\({30x+1-30x-9\over 36x^2-1}=0\)
Так как ОДЗ уже указано, приравниваем числитель к нулю: \(30x+1-30x-9=0\)
Приводим подобные слагаемые: \(Ox-8=0\).    Тогда: \(Ox=8\).   И как говорилось ранее, такое уравнение не имеет решений. Будьте внимательны, обидно решить  уравнение и в самом конце допустить ошибку.
Теперь поговорим о квадратных уравнениях и неравенствах, эти задания объединяет квадратный трехчлен. Вот его-то дискриминант мы обычно находим. Любой ученик знает, что если D>0, квадратное уравнение имеет два различных корня, если D<0, то корней нет, а если D=0, то только один корень. Вот в последнем утверждении кроется ошибка. Если D=0, уравнение имеет два равных корня! Почему это важно?
Мы знаем, что квадратный трехчлен, для примера возьмем такой:  \(2x^2+3x-4\) , всегда можно разложить на множители.
Для этого находим  дискриминант: \(D=b^z-4aC=9+16=25=5^2. \).                                                       
И корни:\(x_1={-b+√D\over2a}={-3+5\over4}={2\over4}={1\over2}\)  и \(x_2=(-b-√D)/2a=(-3-5)/4=(-8)/4=-2\)    .
И запишем разложение: \(2x^2+3x-4=2(x-{1\over 2})(x+2)\)
Теперь рассмотрим квадратный трехчлен, у которого D=0: \(x^2-4x+4\). Его корни можно найти так:  \(x={-b\over 2a}={4\over 2}=2\). Так вот, если мы будем думать, что корень один, то разложение получиться такое: \(x^2-4x+4=(x-2)\). Это неверно! Но так как корней два, то верно так: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\)
Теперь поговорим о квадратных неравенствах, рассмотрим тот случай, когда у квадратного трехчлена D<0.  Обычный, среднестатистический ученик скажет, решений у такого неравенства нет, и будет неправ. В этом случае нужно применить теорему: Если у квадратного трехчлена D<0, то он принимает значения такого знака, который имеет коэффициент a. Переведу с русского на понятный: Если D<0 и a<0 , то квадратный трехчлен тоже <0, если же D<0, a>0, то квадратный трехчлен >0.
Как применяем при решении неравенств?
Например: \(2x^2+3x+4>0 \)         \(D<0\)        2>0      значит неравенство верно при любом x.
Если же \(2x^2+3x+4<0 \)          \(D<0\)         2>0      такое неравенство не имеет решений.
Но стоит заменить  2 на -2, получим: \(-2x^2+3x-4<0\)     D<0         -2<0    неравенство верно при любом x.                           
А вот если: \(-2x^2+3x-4>0 \)     D<0        -2<0     и у неравенства опять нет решений.
Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.
Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!
Автор: Ольга Лардыго
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
2
Образование:
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 1-9 классов. Подготовка к ВПР, ОГЭ. Математика - царица наук. Каждый человек индивидуальный и, конечно же, подход в объяснении предмета к каждому свой. Методик много, я предпочитаю от общего к частному. Мне нравится объяснять, отрабатывать, и тем самым формировать навыки так, чтобы ученик чувствовал уверенность в своих знаниях.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
БГПУ им.Максима Танка
Проведенных занятий:
2791
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-7 классов. Математика - это чудесный мир логики и точности. Дорога в этот мир лежит через старания, внимательность и весёлые задания. Необычные решения и интерес помогут разобраться и полюбить эту науку!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка
Проведенных занятий:
18
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-7 классов. У меня высшее педагогическое образование и работаю я по методике преподавания математики. Любовь к предмету мне привила мой школьный учитель. Мне стало интересным решать разного рода задачи и примеры. И я добилась много в жизни благодаря математике. На уроках и занятиях я располагаю к себе учеников и стараюсь преподносить материал интересным способом. С уверенностью могу сказать, что мои ученики в школе полюбили математику и прилагали все усилия, чтобы совершенствоваться. И на мой взгляд, математику может понять и полюбить каждый, потому что всё зависит от самого человека и того, кто про нее рассказывает.