Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
Планиметрическая задача
Обновлено: 30 июл 2023
Планиметрическая задача
Условие:
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
Решение
![](/common/upload/ckeditor/142-546545009b127a6eb13a8ee8bb49218f.png)
а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.
б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:
AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.
По теореме Пифагора, получим:
\(TB^2=AT^2+AB^2\)
По теореме о касательной и секущей, получим:
\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)
Отсюда следует, что:
\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)
Рассуждая подобным образом, получим:
\(TC^2=18r\)
Далее из теоремы синусов получим, что:
BC = 2r · sin ∠BTC.
Обозначим через «h» искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:
![](/common/upload/ckeditor/738-e97135c2d7503a2484b8541809887fa0.png)
Отсюда получаем, что:
![](/common/upload/ckeditor/384-ff69af35398ab1252121e150ca4045e0.png)
После преобразований, получаем:
![](/common/upload/ckeditor/782-735711367bbfd8a0767c78a4ad2318e4.png)
Ответ: 6
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Подготовка к ОГЭ по математике
-
Репетитор по алгебре
-
Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
-
Подготовка к олимпиадам по физике
-
Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
-
Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
-
Репетитор по английскому для взрослых
-
Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
-
Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
-
Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ