Планиметрическая задача

Условие:
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.
а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
 
Решение
 
 
 
 а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.
 
б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:
 
AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.
 
По теореме Пифагора, получим:
 
\(TB^2=AT^2+AB^2\) 
 
По теореме о касательной и секущей, получим:
 
\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)
 
Отсюда следует, что:
 
\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)
 
Рассуждая подобным образом, получим:
 
\(TC^2=18r\)
 
Далее из теоремы синусов получим, что:
 
BC = 2r · sin ∠BTC.
 
Обозначим через « искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:
 
 
 
Отсюда получаем, что:
 
 
После преобразований, получаем:
 
 
Ответ: 6
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
34
Образование:
Могилевский государственный педагогический институт им. А. Кулешова
Проведенных занятий:
955
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
24
Образование:
Самаркандский Государственный университет
Проведенных занятий:
519
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
9
Образование:
Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко
Проведенных занятий:
652
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
Специализации