Планиметрическая задача

Условие:
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.
а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
 
Решение
 
 
 
 а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.
 
б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:
 
AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.
 
По теореме Пифагора, получим:
 
\(TB^2=AT^2+AB^2\) 
 
По теореме о касательной и секущей, получим:
 
\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)
 
Отсюда следует, что:
 
\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)
 
Рассуждая подобным образом, получим:
 
\(TC^2=18r\)
 
Далее из теоремы синусов получим, что:
 
BC = 2r · sin ∠BTC.
 
Обозначим через « искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:
 
 
 
Отсюда получаем, что:
 
 
После преобразований, получаем:
 
 
Ответ: 6
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Удмуртский государственный университет
Проведенных занятий:
196
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 7-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ. Работаю на результат без лишних конспектов и заучивания правил. Вся теория понятна и доступна, подаётся в схематической форме. Делаю акцент на разбор практической части с учётом индивидуальных потребностей ученика до достижения максимального уровня. Выходим за пределы школьной программы, вовлекаю ученика в процесс изучения русского языка.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет
Проведенных занятий:
895
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-9 классов. Я люблю математику за ее точность и однозначность, она помогает мыслить логически, формирует алгоритмическое мышление. При работе с учениками использую наглядное представление материала, игры, таблицы с кратким теоретическим материалом. Верю в то, что главное не отметка, а те знания, которые ученик усвоил и может применить на практике.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Стерлитамакский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
55
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 6-11 классов. Обществознание и история очень интересные предметы! Здесь можно изучить законы общества, понять свои возможности и выбрать жизненный путь, получить знания из других наук: экономики, философии, политологии, социологии и этики. Использую индивидуальный подход к ученику, стараюсь заинтересовать и расширить кругозор, использую на занятиях презентации, схемы и видео.

Математика 11 класс

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Курс "Положительные и отрицательные числа" (6 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Курсы по математике для школьников (7 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие