Планиметрическая задача

Условие:
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.
а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
 
Решение
 
 
 
 а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.
 
б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:
 
AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.
 
По теореме Пифагора, получим:
 
\(TB^2=AT^2+AB^2\) 
 
По теореме о касательной и секущей, получим:
 
\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)
 
Отсюда следует, что:
 
\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)
 
Рассуждая подобным образом, получим:
 
\(TC^2=18r\)
 
Далее из теоремы синусов получим, что:
 
BC = 2r · sin ∠BTC.
 
Обозначим через « искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:
 
 
 
Отсюда получаем, что:
 
 
После преобразований, получаем:
 
 
Ответ: 6
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
18
Образование:
КГАУ
Проведенных занятий:
3007
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-9 классов. Докажу, что математика - это просто. Использую классическую методику преподавания. Мои ученики получают высокие балы по ОГЭ. За несколько уроков изменю ваше мнение о математике!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
30
Образование:
Кубанский государственный университет
Проведенных занятий:
33
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку 5-9 классы. Подготовка к ОГЭ. Желающему преуспеть в будущей профессиональной деятельности, необходимо знать русский язык: уметь красиво излагать свои мысли, грамотно говорить и писать. И я могу этому научить на своих занятиях. В доступной форме доношу сложный материал, использую индивидуальный подход к каждому ребенку. Через анализ, частичный поисковый метод обучения обеспечиваю высокий результат на экзаменах.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
26
Образование:
Ставропольский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
31
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-9 классов. Математика – царица точных наук. Точные науки – это науки логики, фактов и здравого смысла. Математика – это самая точная наука, способная обогатить человечество новыми знаниями. Нередко слышно мнение: я на математический факультет идти не собираюсь, зачем мне математика? Я петь пойду! Но это ошибочное мнение, без навыков математического мышления в XXI веке прожить сложно. Математика способствует развитию целого ряда качеств человека, таких как способность к анализу, умение применять свои знания на практике, находить закономерности, мыслить стратегически и логически. Да, скорее всего, для многих из нас математика не станет профессией, но человек, добросовестно изучавший математику, встаёт на определённую ступень своего развития, с которой он (в большинстве случаев) вряд ли сойдёт. И чем бы в дальнейшем он ни занимался, он будет стараться делать всё обдуманно, пытаться находить закономерности, удерживать в голове определённые последовательности.