Планиметрическая задача

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике

Планиметрическая задача

Условие:

Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

Решение

а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.

б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:

AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.

По теореме Пифагора, получим:

\(TB^2=AT^2+AB^2\)

По теореме о касательной и секущей, получим:

\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)

Отсюда следует, что:

\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)

Рассуждая подобным образом, получим:

\(TC^2=18r\)

Далее из теоремы синусов получим, что:

BC = 2r · sin ∠BTC.

Обозначим через «h» искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами: