Планиметрическая задача
Условие:
Окружность с центром O проходит через вершины B и C большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD и касается боковой стороны AD в точке T. Точка O лежит внутри трапеции ABCD.а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BCТ.б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.
Решение

а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из чертежа видно, что угол BCТ вписан в окружность, а угол BOC является соответствующим ему центральным углом. Согласно свойствам вписанного и центрального углов, ∠BOC = 2∠BCТ. Что и требовалось доказать.
б) По условию задачи, окружность и сторона AD касаются в точке Т. Следовательно, из условия задачи, что АВСD – прямоугольная трапеция, тогда прямые OT и AD перпендикулярны. Обозначим точку, в которой окружность вторично пересекает прямую AB как L, а сторону CD — точкой M. Тогда получим, что диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам (на Рис.1. диаметр проведен вертикальной линией). Обозначим OT = r, тогда:
AL = 2r − AB = 2r − 4, DM = 2r − CD = 2r − 9.
По теореме Пифагора, получим:
\(TB^2=AT^2+AB^2\)
По теореме о касательной и секущей, получим:
\(AT^2=AB*AL=4(2r-4)\)
Отсюда следует, что:
\(TB^2=4(2r-4)+4^2=8r\)
Рассуждая подобным образом, получим:
\(TC^2=18r\)
Далее из теоремы синусов получим, что:
BC = 2r · sin ∠BTC.
Обозначим через «h» искомое расстояние от точки T до прямой BC. Далее, выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

Отсюда получаем, что:

После преобразований, получаем:

Ответ: 6
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Белорусский государственный университет
Проведенных занятий:
231
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
31
Образование:
Коми государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
220
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
22
Образование:
Астраханский педагогический университет
Проведенных занятий:
885
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Репетитор по алгебре
- Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
- Подготовка к олимпиадам по физике
- Репетитор по русскому языку для подготовки к ОГЭ
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по английскому для взрослых
- Репетитор для подготовки к ОГЭ по истории
- Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по информатике для подготовки к ОГЭ
Похожие статьи
- Векторы
- Формулы длины дуги
- МГУ Географический факультет: ЕГЭ баллы и специальности
- НИУ ВШЭ (МИЭМ): Прикладная математика
- ЕГЭ по математике, профильный уровень. Показательные уравнения
- Как решать показательно-степенные уравнения
- Что делать, если не справляешься с нагрузкой, а родители наседают?
- Гипотиреоз у детей: симптомы и лечение
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так