ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на движение по прямой (вариант 1)

Математика Подготовка к ЕГЭ ЕГЭ по математике ОГЭ по математике Подготовка к ОГЭ

Предлагаем разобрать три задачи, приведенные ниже. Это задание № 11 из ЕГЭ прошлых лет, рекомендованные как тренировочные.

Задача № 1

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть «х» км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна:

х + 16 км/ч

Примем расстояние между пунктами за «1».

Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда получим уравнение:

\({1 \over x} ={0,5 \over 24}+{0,5\over {x+16}}\) <=>

<=> 48·(х + 16) = х·(х + 16) + 24·х <=>

<=> х² – 8х – 768 = 0

х₁ = 32

х₂ = -24

Так как по смыслу задачи х > 0, то решением будет первый корень.

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч.

Ответ: 32.

Задача №2

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть «х» км/ч – скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна:

х – 13 км/ч

Примем расстояние между пунктами за «2».

Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда получим уравнение:

\({2 \over x} ={1 \over 78}+{1\over {x-13}}\) <=>

<=> 2·78·(х - 13) = х² – 13х + 78·х <=>

<=> х² – 91х + 2028 = 0

х₁ = 52

х₂ = 48

Так как по условию задачи х > 48, то решением будет первый корень.

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч.

Ответ: 52.

Задача № 3

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть «х» км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна:

х +40 км/ч.

Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда получим уравнение:

\({75 \over x} -{75\over {x+40}}=6\) <=>

<=> 500 = х(х + 40) <=>

<=> х² – 40х - 500 = 0

х₁ = 10

х₂ = -50

Так как по условию задачи х > 0, то решением будет первый корень.

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10.