Топ-5 тем по геометрии, в которых чаще всего совершают ошибки

Преподаватель математики Ольга Геннадьевна рассматривает 5 самых проблемных тем по геометрии.
 

1. Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Данная теорема используется при построениях, а чаще всего построения делаются интуитивно. В результате, если требуется распределить стороны и углы, то делается это наугад. А ведь есть такая прекрасная теорема. Здесь же хотела напомнить еще одно утверждение: 
центр описанной около  треугольника окружности лежит: на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный, внутри треугольника, если треугольник остроугольный и вне треугольника, если треугольник тупоугольный.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Т.е. если \(S \) и \(S1\) - площади треугольников \(ABC\) и \(A1B1C1\), у которых \(<A=<A1\) то \({{s}\over {s_1}} = {AB⋅AC\over A_1 B_1⋅A_1 C_1 }\)
Но чаще всего эта теорема встретится в таком варианте: \(B\) \(ABC\) стороны \(AB=5\), \(AC=10\), \(S∆=100\). Через т.M принадлежащей стороне \(AB\), проходит прямая, параллельная стороне \(BC\), так, что \(AM:MB=2:3\), Найти \(S∆\) который отсекается этой прямой от \(∆ABC\).
 
Решение: По Т.Фалеса прямая пересечет сторону \(AC\)  в т. \(N\), в том же отношении. Значит стороны \(AM=5:5*2=2\), \(AN=10:5*2=4\).
Тогда, по данной теореме составим пропорцию: \({{100}\over {s_ΔAMN}} ={5⋅10\over 2⋅4}\)  
Решив ее, найдем \({s_ΔAMN}={100⋅2⋅4\over 5⋅10}={16}\)
 

3. Отношение площадей и объемов подобных фигур. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов двух подобных фигур равно кубу коэффициента подобия 

Задание на применение данного свойства есть и в ОГЭ, и в ЕГЭ (профиль и база), но ученики продолжают говорить, что не знают подобного. А ведь применение этого свойства в разы упрощает решение.
Вот пример из пособия по подготовке к ЕГЭ. Площадь треугольника \(ABC=8\)\(DE\)-средняя линия. Найдите площадь треугольника \(CDE\)
 
 
Решение: Так как \(DE\)- средняя линия, значит \({DE\over AB}={1\over2}=k \) , тогда \({s_ΔCDE\over s_Δ ACB}=k^2=(1/2)^2=1/4\).  Подставив в пропорцию \({s_ΔCDE\over s_Δ ACB}={1\over 4}\), известные данные, получим \({s_ΔCDE\over 8}={1\over 4}\), откуда \(s_ΔCDE={8\over 4}=2\)

4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Данную тему проще запомнить по рисунку:
 
Вот если у вас такая ситуация, то \(h^2=cb⋅ca \)           \(b^2=c⋅cb\)         \(a^2=c⋅ca\)       \(h= {a⋅b\over c}\)    
Например: В треугольнике \(ABC\), изображенном на рисунке, известно, что \(<ABC\)=900 \(BD⊥AC\), \(AD=12см\), \(CD=16см\). Найдите длины сторон BC,AB,BD.
Решение: 
\(BD\)2 =\(AD•DC=12•16=192 , тогда BD= √192=8√3\)
\(AB\)2=\(AC•AD=(12+16)•12=336 , тогда AB= √336=4√21\)
\(BC\)2=\(AC•DC=(12+16)•16=448 , тогда BC= √448=8√7 \)
 
Используйте эти формулы, и геометрия станет легче.
 

5. Теорема: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Например: Хорды \(MN \) и \(KZ\) окружности пересекаются в точке \(A\), причем хорда \(MN \) делится точкой \(A\) на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка \(A\)делит хорду \(KZ\), если длина \(KZ \) в 2 раза меньше длины \(MN\)?                  
 
Решение: Если т. \(A\)делит \(MN \) на отрезки 1 и 15, то \(MA=1\), \(NA=15\).  Так как \(KZ\) в 2 раза меньше \(MN\), то \(KZ=(1+15):2=8\), значит \(:KA+AZ=8\), отсюда \(KA=8-AZ\),  по теореме \(MA•AN=KA•AZ \)    \(1•16=(8-AZ)•AZ\). Открыв скобки, получаем \(16=8AZ-AZ\)2, перенесем все вправо, получим квадратное уравнение \(AZ\)2 \(-8AZ+16=0 \) ,его \(дискриминант =0, AZ=4, тогда KA=4.\) 
 
Итак, перед вами пять самых забываемых тем. Что с ними делать? Выучить, конечно. Но и этого недостаточно. Разобранные примеры нужно применять на практике. Чем чаще вы занимаетесь, тем меньше забываете!
 
,
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
12
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
6
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку для 1-7 классов. Помогу освоить грамматику, аудирование, а также разговорную речь. В том числе разбор школьной программы и выполнение домашних заданий. Занятия проходят с использованием современной методики обучения. План каждого занятия разрабатывается индивидуально исходя из целей и текущего уровня ученика. В свой работе использую современные издания, видео и аудио материалы. Жду вас на своих занятиях.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
17
Образование:
Тбилисский Государственный Педагогический Университет
Проведенных занятий:
1369
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 4-9 классов. Математика – царица точных наук. Точные науки – это науки логики, фактов и здравого смысла. Математика – это самая точная наука, способная обогатить человечество новыми знаниями. За что я люблю математику? Я люблю математику за то, что она дисциплинирует и воспитывает ум .В ней все подчиняется определенным правилам, которые легко понять, и которые одинаковы абсолютно для всех. А я только помогу вам в этом.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
1
Образование:
Тюменский государственный университет
Проведенных занятий:
1
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии для 7-11 классов. Приветствую всех желающих изучать химию - науку о веществах и превращениях! Однажды открыв для себя этот волшебный мир, вы захотите снова и снова узнавать его тайны. Я с удовольствием сделаю для вас эту науку простой и понятной , покажу ученику, что мир химии очень интересен и увлекателен!