Топ-5 тем по геометрии, в которых чаще всего совершают ошибки

Все Родителям Саморазвитие для школьников Подготовка Преподавателям Профориентация Отношения с родителями Советы психолога Здоровье Таймменеджмент Калькуляторы

1. Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
2. Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы
3. Отношение площадей и объемов подобных фигур. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов двух подобных фигур равно кубу коэффициента подобия
4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
5. Теорема: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

26 ноя 2024

Топ-5 тем по геометрии, в которых чаще всего совершают ошибки

Преподаватель математики Ольга Геннадьевна рассматривает 5 самых проблемных тем по геометрии.

1. Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Данная теорема используется при построениях, а чаще всего построения делаются интуитивно. В результате, если требуется распределить стороны и углы, то делается это наугад. А ведь есть такая прекрасная теорема. Здесь же хотела напомнить еще одно утверждение:

центр описанной около треугольника окружности лежит: на середине гипотенузы, если треугольник прямоугольный, внутри треугольника, если треугольник остроугольный и вне треугольника, если треугольник тупоугольный.

2. Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Т.е. если \(S \) и \(S1\) - площади треугольников \(ABC\) и \(A1B1C1\), у которых \(<A=<A1\) то \({{s}\over {s_1}} = {AB⋅AC\over A_1 B_1⋅A_1 C_1 }\)

Но чаще всего эта теорема встретится в таком варианте: \(B\) ∆ \(ABC\) стороны \(AB=5\), \(AC=10\), \(S∆=100\). Через т.M принадлежащей стороне \(AB\), проходит прямая, параллельная стороне \(BC\), так, что \(AM:MB=2:3\), Найти \(S∆\) который отсекается этой прямой от \(∆ABC\).

Решение: По Т.Фалеса прямая пересечет сторону \(AC\) в т. \(N\), в том же отношении. Значит стороны \(AM=5:5*2=2\), \(AN=10:5*2=4\).

Тогда, по данной теореме составим пропорцию: \({{100}\over {s_ΔAMN}} ={5⋅10\over 2⋅4}\)

Решив ее, найдем \({s_ΔAMN}={100⋅2⋅4\over 5⋅10}={16}\)

3. Отношение площадей и объемов подобных фигур. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов двух подобных фигур равно кубу коэффициента подобия

Задание на применение данного свойства есть и в ОГЭ, и в ЕГЭ (профиль и база), но ученики продолжают говорить, что не знают подобного. А ведь применение этого свойства в разы упрощает решение.

Вот пример из пособия по подготовке к ЕГЭ. Площадь треугольника \(ABC=8\). \(DE\)-средняя линия. Найдите площадь треугольника \(CDE\)

Решение: Так как \(DE\)- средняя линия, значит \({DE\over AB}={1\over2}=k \) , тогда \({s_ΔCDE\over s_Δ ACB}=k^2=(1/2)^2=1/4\). Подставив в пропорцию \({s_ΔCDE\over s_Δ ACB}={1\over 4}\), известные данные, получим \({s_ΔCDE\over 8}={1\over 4}\), откуда \(s_ΔCDE={8\over 4}=2\)

4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Данную тему проще запомнить по рисунку:

Вот если у вас такая ситуация, то \(h^2=cb⋅ca \) \(b^2=c⋅cb\) \(a^2=c⋅ca\) \(h= {a⋅b\over c}\)

Например: В треугольнике \(ABC\), изображенном на рисунке, известно, что \(<ABC\)=90⁰, \(BD⊥AC\), \(AD=12см\), \(CD=16см\). Найдите длины сторон BC,AB,BD.

Решение:

\(BD\)^{2 =\(AD•DC=12•16=192 , тогда BD= √192=8√3\)}

\(AB\)²=\(AC•AD=(12+16)•12=336 , тогда AB= √336=4√21\)

\(BC\)²=\(AC•DC=(12+16)•16=448 , тогда BC= √448=8√7 \)

Используйте эти формулы, и геометрия станет легче.

5. Теорема: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Например: Хорды \(MN \) и \(KZ\) окружности пересекаются в точке \(A\), причем хорда \(MN \) делится точкой \(A\) на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка \(A\)делит хорду \(KZ\), если длина \(KZ \) в 2 раза меньше длины \(MN\)?

Решение: Если т. \(A\)делит \(MN \) на отрезки 1 и 15, то \(MA=1\), \(NA=15\). Так как \(KZ\) в 2 раза меньше \(MN\), то \(KZ=(1+15):2=8\), значит \(:KA+AZ=8\), отсюда \(KA=8-AZ\), по теореме \(MA•AN=KA•AZ \) \(1•16=(8-AZ)•AZ\). Открыв скобки, получаем \(16=8AZ-AZ\)², перенесем все вправо, получим квадратное уравнение \(AZ\)² \(-8AZ+16=0 \) ,его \(дискриминант =0, AZ=4, тогда KA=4.\)

Итак, перед вами пять самых забываемых тем. Что с ними делать? Выучить, конечно. Но и этого недостаточно. Разобранные примеры нужно применять на практике. Чем чаще вы занимаетесь, тем меньше забываете!

Предыдущая статья