Формулы правильного многоугольника

Многоугольник - это плоская замкнутая фигура с множеством углов. Правильный многоугольник - это равноугольный и равносторонний многоугольник. Центр правильного многоугольника является общим центром его вписанных и описанных окружностей. Центральный угол правильного многоугольника - это угол, вершиной которого является центр многоугольника. \( N\) сторонний многоугольник будет иметь \(n\) центральных углов. Сумма внешних углов многоугольника \(360°\).
Многоугольник

 
Сумма внутренних углов правильного многоугольника с n сторонами равна:
 \((n - 2)180°\)

 
Радиус описанной окружности равен:
\(R = \frac{a}{{2\sin \frac{{{{180}^o}}}{n}}}\)
\(a-\)сторона многоугольника

Вписанный радиус:
\(r = \frac{a}{{2tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}\)
 
\(a-\)сторона многоугольника

Площадь правильного многоугольника
\(S = p \cdot r\)
\(S = {r^2} \cdot n \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}\)
\(S = \frac{1}{2}{R^2} \cdot n \cdot \sin \frac{{{{360}^o}}}{n}\)
\(S = \frac{{{a^2} \cdot n}}{{4tg\frac{{{{180}^o}}}{n}}}\)
 
\(a-\)сторона многоугольника ,\(n\)- число сторон , \(p\)-полупериметр, 
 \(r-\) радиус вписанной окружности , \(R-\)радиус описанной окружности

Для нахождения стороны в многоугольнике используют фрмулы:
\(a = 2r \cdot tg\frac{{{{180}^o}}}{n}\)
 
\(a = 2R \cdot \sin \frac{{{{180}^o}}}{n}\)
 
\(a-\)сторона многоугольника, \(r-\) радиус вписанной окружности , \(R-\)радиус описанной окружности
 

 
Если задан радиус правильного многоугольника:
\(S = \frac{R^2n}{2} sin (\frac{2π}{n})\)

 
Периметр многоугольника:
\(Р = an \)
\(n\)- число углов, \(a\)-длина стороны

 
Сторона многоугольника:
\(a =\frac{ 2rsinα }{ 2}\)
Углы правильного  многоугольника ты найдешь в нашей следующей статье: https://myalfaschool.ru/articles/ugly-pravilnogo-mnogougolnika-formuly