Дарим первый урок с репетитором бесплатно
Оставьте заявку и получите первый урок в подарок
![gift](/design-v3/img/articles/modal-gift-375.png)
ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники
Обновлено: 05 янв 2024
ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники
Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.
Условие:
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Решение
![](/common/upload/ckeditor/152-1b275c2f743205da3ef25360c56dadd3.png)
а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:
ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN
Поскольку из условия задачи: BM=MC и AN=ND получаем, что AB=CD
Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.
б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).
![](/common/upload/ckeditor/561-7d379635f682e8d320e863c56cf589ab.png)
Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.
Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:
AB+6=t+4,
откуда AB= t-2
Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:
![](/common/upload/ckeditor/380-88f6e3a6d40f95ba9d99a1d7820e3b06.png)
Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10
Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,
Обозначим точкой O1 — центр второй окружности
Обозначим их проекции на сторону AB точками T и T1 соответственно,
радиус второй окружности обозначим r.
Тогда TOO1T1 — трапеция, в которой:
TO=3, T1O1=r, OO1=3+r
Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.
Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:
BT=BL=4-3=1, а AT=9
Из подобия треугольников ATO и AT1O1 находим, что:
AT1=3r и TT1=9-3r
Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.
![](/common/upload/ckeditor/602-3603f92d1e01863df673ab40de555bb6.png)
Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3
![](/common/upload/ckeditor/447-efc339b72c9b909470aae10c725b4f9d.png)
Дарим в подарок бесплатный вводный урок!
![gift](/design-v3/img/articles/gift.png)
Репетиторы
Специализация
-
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
-
Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
-
Подготовка к олимпиадам по химии
-
Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
-
Английский язык для начинающих
-
Репетитор по разговорному английскому
-
Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
-
Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
-
Подготовка к ОГЭ по литературе
-
Scratch