ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники
Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.
Условие:
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Решение

а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:
ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN
Поскольку из условия задачи: BM=MC и AN=ND получаем, что AB=CD
Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.
б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).

Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.
Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:
AB+6=t+4,
откуда AB= t-2
Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:

Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10
Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,
Обозначим точкой O1 — центр второй окружности
Обозначим их проекции на сторону AB точками T и T1 соответственно,
радиус второй окружности обозначим r.
Тогда TOO1T1 — трапеция, в которой:
TO=3, T1O1=r, OO1=3+r
Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.
Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:
BT=BL=4-3=1, а AT=9
Из подобия треугольников ATO и AT1O1 находим, что:
AT1=3r и TT1=9-3r
Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.

Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3

Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
7
Образование:
Гомельский государственный университет им Ф. Скорины
Проведенных занятий:
1969
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
6
Образование:
Минский государственный лингвистический университет
Проведенных занятий:
205
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике
Стаж (лет)
4
Образование:
Гомельский государственный технический университет
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
- Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
- Подготовка к олимпиадам по химии
- Репетитор по английскому языку для подготовки к ОГЭ
- Английский язык для начинающих
- Репетитор по разговорному английскому
- Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор по биологии для подготовки к ОГЭ
- Подготовка к ОГЭ по литературе
- Scratch
Нашли ошибку?
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так