ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники

 
Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.
 
Условие:
 
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
 
Решение
 
 
 
а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:
 
ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN
 
Поскольку из условия задачи: BM=MC  и AN=ND  получаем, что AB=CD   
 
Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.
 
б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).
 
 
 
Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.
 
Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:
 
AB+6=t+4,
   
откуда  AB= t-2
 
Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:
 
 
Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10
 
Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,
Обозначим точкой O1 —    центр второй окружности
Обозначим их проекции на сторону AB точками  T и  T1 соответственно,
радиус второй окружности обозначим r.
 
Тогда TOO1T1  — трапеция, в которой:
 
TO=3, T1O1=r, OO1=3+r
 
Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.
 
Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:
 
BT=BL=4-3=1, а AT=9
 
Из подобия треугольников ATO и  AT1O1  находим, что:
 
AT1=3r и TT1=9-3r
 
Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.
 
 
 
Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Ангарский педагогический колледж
Проведенных занятий:
279
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по английскому языку для 1-9 классов. Помощь в подготовке к ОГЭ. Я молодой и энергичный преподаватель, который обожает свой предмет. Я убеждена, что нет ни одного человека, который не смог бы научиться тому, что для него интересно. Я как раз тот преподаватель, который поможет вам учиться хорошо. На моих занятиях мы сможем научиться не только смело говорить и грамотно писать на английском языке, но и узнаем много интересного о другой культуре. Я всегда стремлюсь подобрать наилучший подход к каждому студенту, в зависимости от его потребностей и желаний. Наш мир - это границы нашего разума. Давайте вместе сделаем наш мир безграничным!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
8
Образование:
Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского
Проведенных занятий:
450
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-11 классов.Помощь в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Магистр математических наук. В школе к математике относился нейтрально, понимал на среднем уровне, но после школы мне попался замечательный учитель, который смог донести всю красоту и простоту обычными, простыми словами, а не замысловатыми книжными терминами. Ведь книгу можно почитать и без учителя. С тех пор серьезно увлекся математикой и упор делаю именно на прозрачном и понятном объяснении, простыми словами, ведь главное не заумные термины, а понимание сути процесса.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
5
Образование:
Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина
Проведенных занятий:
764
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое. Буду рада видеть на своих уроках!