ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники

 
Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.
 
Условие:
 
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
 
Решение
 
 
 
а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:
 
ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN
 
Поскольку из условия задачи: BM=MC  и AN=ND  получаем, что AB=CD   
 
Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.
 
б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).
 
 
 
Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.
 
Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:
 
AB+6=t+4,
   
откуда  AB= t-2
 
Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:
 
 
Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10
 
Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,
Обозначим точкой O1 —    центр второй окружности
Обозначим их проекции на сторону AB точками  T и  T1 соответственно,
радиус второй окружности обозначим r.
 
Тогда TOO1T1  — трапеция, в которой:
 
TO=3, T1O1=r, OO1=3+r
 
Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.
 
Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:
 
BT=BL=4-3=1, а AT=9
 
Из подобия треугольников ATO и  AT1O1  находим, что:
 
AT1=3r и TT1=9-3r
 
Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.
 
 
 
Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3
 
 
Наши преподаватели
Репетитор по математике
Стаж (лет)
35
Образование:
Стерлитамакская государственная педагогическая академия
Проведенных занятий:
57
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку 5-9 классов. Есть сложности в выполнении домашних заданий по русскому языку? Необходимо повысить успеваемость? Нужна подготовка к контрольным работам? Помогу. Большой опыт в подготовке к ВПР, ОГЭ. На занятиях использую разнообразный наглядный материал, тестирования, проверенные домашние работы будут прокомментированы.
Репетитор по математике
Стаж (лет)
14
Образование:
Ульяновский государственный педагогический университет им И.Н.Ульянова
Проведенных занятий:
0
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Обществознание позволяет лучше понять то, как устроен этот мир, дает понимание функционирования основных социальных механизмов и так здорово открывать этот мир вместе с ребенком!
Репетитор по математике
Стаж (лет)
10
Образование:
Череповецкий государственный университет
Проведенных занятий:
78
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике для 5-9 классов. Помощь в подготовке к ОГЭ. Задача математики привести ум в порядок, научить человека думать - она средство, а не самоцель. Люблю ее за постоянство, точность и краткость. На занятиях отрабатываются теоретические знания и практические навыки. Индивидуальный подход к каждому ученику в зависимости от уровня его подготовки, степени усвоения материала, особенностей мышления, программы обучения в школе. Сочетание традиционных и новых форм обучения.

Курсы ЕГЭ

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Функция

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие

Десятичные дроби: (5 класс)

  • - Индивидуальные занятия
  • - В любое удобное для вас время
  • - Бесплатное вводное занятие