ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники

Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.

Условие:

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение

а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:

ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN

Поскольку из условия задачи: BM=MC и AN=ND получаем, что AB=CD

Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).

Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.

Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:

AB+6=t+4,

откуда AB= t-2

Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:

Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10

Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,

Обозначим точкой O1 — центр второй окружности

Обозначим их проекции на сторону AB точками T и T1 соответственно,

радиус второй окружности обозначим r.

Тогда TOO1T1 — трапеция, в которой:

TO=3, T1O1=r, OO1=3+r

Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.

Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:

BT=BL=4-3=1, а AT=9

Из подобия треугольников ATO и AT1O1 находим, что:

AT1=3r и TT1=9-3r

Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.

Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Анна Андреевна Бугрова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ангарский педагогический колледж

Проведенных занятий:

279

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку для 1-9 классов. Помощь в подготовке к ОГЭ. Я молодой и энергичный преподаватель, который обожает свой предмет. Я убеждена, что нет ни одного человека, который не смог бы научиться тому, что для него интересно. Я как раз тот преподаватель, который поможет вам учиться хорошо. На моих занятиях мы сможем научиться не только смело говорить и грамотно писать на английском языке, но и узнаем много интересного о другой культуре. Я всегда стремлюсь подобрать наилучший подход к каждому студенту, в зависимости от его потребностей и желаний. Наш мир - это границы нашего разума. Давайте вместе сделаем наш мир безграничным!

Виктор Викторович Вологжанин

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского

Проведенных занятий:

450

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 5-11 классов.Помощь в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Магистр математических наук. В школе к математике относился нейтрально, понимал на среднем уровне, но после школы мне попался замечательный учитель, который смог донести всю красоту и простоту обычными, простыми словами, а не замысловатыми книжными терминами. Ведь книгу можно почитать и без учителя. С тех пор серьезно увлекся математикой и упор делаю именно на прозрачном и понятном объяснении, простыми словами, ведь главное не заумные термины, а понимание сути процесса.

Виктория Игоревна Лаптик

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина

Проведенных занятий:

764

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое. Буду рада видеть на своих уроках!