ЕГЭ по математике, профильный уровень. Окружности и четырехугольники

Предлагаем разобрать задачу, приведенную ниже. Это задание №16 из ЕГЭ прошлых лет.

Условие:

Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.

Решение

а) Выполним чертеж, согласно условию задачи (Рис.1). Из условия, что в трапецию вписаны две окружности, следует, что:

ВМ+AN=AB+MN и MC+ND=CD+MN

Поскольку из условия задачи: BM=MC и AN=ND получаем, что AB=CD

Значит, трапеция ABCD – равнобедренная. Что и требовалось доказать.

б) Дополним чертеж, согласно условию задачи (Рис. 2).

Очевидно, при этих условиях отрезок MN является высотой трапеции и имеет длину 6.

Обозначим AN = t, тогда из условия, что в трапецию вписаны две окружности, рассматривая трапецию BMNA, получим:

AB+6=t+4,

откуда AB= t-2

Сделаем дополнительные построения, опуская высоту BK, получим:

Решая это уравнение, получаем t=12 и AB=10

Обозначим точкой O — центр окружности, вписанной в BMNA,

Обозначим точкой O1 — центр второй окружности

Обозначим их проекции на сторону AB точками T и T1 соответственно,

радиус второй окружности обозначим r.

Тогда TOO1T1 — трапеция, в которой:

TO=3, T1O1=r, OO1=3+r

Опустим из точки O перпендикуляры OL и OH на BM и MN соответственно.

Тогда OLMH — квадрат со стороной 3, поэтому:

BT=BL=4-3=1, а AT=9

Из подобия треугольников ATO и AT1O1 находим, что:

AT1=3r и TT1=9-3r

Теперь опустим перпендикуляр O1G на OT.

Из двух корней этого уравнения подходит только меньший, поскольку r<3

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку "Записаться" принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Альфинур Самерхановна Мурзабаева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Стерлитамакская государственная педагогическая академия

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку 5-9 классов. Есть сложности в выполнении домашних заданий по русскому языку? Необходимо повысить успеваемость? Нужна подготовка к контрольным работам? Помогу. Большой опыт в подготовке к ВПР, ОГЭ. На занятиях использую разнообразный наглядный материал, тестирования, проверенные домашние работы будут прокомментированы.

Жанна Юрьевна Максимова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ульяновский государственный педагогический университет им И.Н.Ульянова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Обществознание позволяет лучше понять то, как устроен этот мир, дает понимание функционирования основных социальных механизмов и так здорово открывать этот мир вместе с ребенком!

Ирина Викторовна Богачева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Череповецкий государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 5-9 классов. Помощь в подготовке к ОГЭ. Задача математики привести ум в порядок, научить человека думать - она средство, а не самоцель. Люблю ее за постоянство, точность и краткость. На занятиях отрабатываются теоретические знания и практические навыки. Индивидуальный подход к каждому ученику в зависимости от уровня его подготовки, степени усвоения материала, особенностей мышления, программы обучения в школе. Сочетание традиционных и новых форм обучения.

Курсы ЕГЭ

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок

Функция

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок

Десятичные дроби: (5 класс)

- Индивидуальные занятия
- В любое удобное для вас время
- Бесплатное вводное занятие

от 590 ₽ Хочу бесплатный урок